Jak budować modele wyceny, takie jak Black-Scholes

Wycena opcji może być trudna. Rozważ następujący scenariusz: w styczniu 2015 r.  opcję kupna  na akcje IBM z ceną wykonania  bankomatu  w wysokości 155 USD, spodziewając się korzyści z wysokiego procentowego zwrotu, opartego na niewielkim koszcie opcji ( premia opcyjna ), w porównaniu do zakupu akcji z wysoką ceną kupna.

Obecnie dostępnych jest kilka różnych gotowych metod wyceny opcji – w tym model  Blacka-Scholesa  i  model drzewa dwumianowego – które mogą dostarczyć szybkich odpowiedzi. Ale jakie są podstawowe czynniki i koncepcje kierujące do takich modeli wyceny? Czy można przygotować coś podobnego w oparciu o koncepcję tych modeli?

W tym miejscu omawiamy elementy składowe, podstawowe koncepcje i czynniki, które można wykorzystać jako ramy do zbudowania modelu wyceny dla aktywów, takich jak opcje, zapewniając bezpośrednie porównanie z początkami Black-Scholes (BS ) Model.

Ten artykuł nie ma na celu zakwestionowania założeń ani żadnych innych czynników modelu BS (co jest zupełnie innym tematem); ma raczej na celu wyjaśnienie podstawowej koncepcji modelu Blacka-Scholesa wraz z ideą rozwoju modelu wyceny.

Świat przed Blackiem-Scholesem

Przed Black-Scholesem szeroko stosowano oparty na równowadze model wyceny aktywów kapitałowych (CAPM). Zwroty i ryzyko były ze sobą zrównoważone, w oparciu o preferencje inwestora, tj. Oczekiwano, że inwestor podejmujący wysokie ryzyko otrzyma rekompensatę (potencjalną) wyższą stopą zwrotu w podobnej proporcji.

Model BS ma swoje korzenie w CAPM. Według Fischera Blacka: „Zastosowałem model wyceny aktywów kapitałowych do każdej chwili z życia warrantu, dla każdej możliwej ceny akcji i wartości warrantu”. Niestety CAPM nie był w stanie spełnić wymoguwyceny warrantu (opcji).

Black-Scholes pozostaje pierwszym modelem, opartym na koncepcji arbitrażu, dokonującym zmiany paradygmatu od modeli opartych na ryzyku (takich jak CAPM). Ten nowy model BS zastąpił koncepcję zwrotu z akcji CAPM uznaniem faktu, że doskonale zabezpieczona pozycja uzyska stopę wolną od ryzyka. Pozwoliło to wyeliminować wahania ryzyka i zwrotu oraz ustanowiło koncepcję arbitrażu, w którym wyceny dokonywane są przy założeniach koncepcji neutralnej pod względem ryzyka – pozycja zabezpieczona (wolna od ryzyka) powinna prowadzić do stopy zwrotu wolnej od ryzyka.

Rozwój Blacka-Scholesa

Zacznijmy od ustalenia problemu, kwantyfikacji go i opracowania ram dla jego rozwiązania. Kontynuujemy nasz przykład wyceny opcji kupna bankomatu na IBM za cenę wykonania 155 USD z wygaśnięciem jednego roku.

Zgodnie z podstawową definicją opcji kupna, o ile cena akcji nie osiągnie poziomu ceny wykonania, wypłata pozostaje zerowa. Po osiągnięciu tego poziomu wypłata rośnie liniowo (tj. Wzrost wartości instrumentu bazowego o 1 dolara zapewni wypłatę w wysokości jednego dolara z opcji kupna).

Zakładając, że kupujący i sprzedający uzgodnią godziwą wycenę (w tym cenę zerową), teoretyczna godziwa cena tej opcji kupna będzie wynosić:

• Cena opcji kupna = 0 USD, jeżeli instrument bazowy <strike (czerwony wykres)
• Cena opcji kupna = (instrument bazowy – wykonanie), jeśli instrument bazowy> = wykonanie (niebieski wykres)

Stanowi to wewnętrzną wartość opcji i wygląda idealnie z punktu widzenia nabywcy opcji kupna. W regionie czerwonym zarówno kupujący, jak i sprzedający mają uczciwą wycenę (zerowa cena dla sprzedającego, zero wypłaty dla kupującego). Wyzwanie związane z wyceną zaczyna się jednak od regionu niebieskiego, ponieważ kupujący ma przewagę w postaci dodatniej wypłaty, podczas gdy sprzedawca ponosi stratę (pod warunkiem, że cena instrumentu bazowego przekracza cenę wykonania). W tym przypadku kupujący ma przewagę nad sprzedawcą przy zerowej cenie. Cena musi być różna od zera, aby sprzedającemu zrekompensować ryzyko, które podejmuje.

W pierwszym przypadku (czerwony wykres), teoretycznie sprzedawca otrzymuje cenę zerową, a kupujący ma zerowy potencjał spłaty (sprawiedliwy dla obu). W tym drugim przypadku (niebieski wykres) różnica między instrumentem bazowym a strajkiem ma zostać zapłacona kupującemu przez sprzedającego. Ryzyko sprzedawcy obejmuje cały rok. Na przykład bazowa cena akcji może wzrosnąć bardzo wysoko (powiedzmy do 200 USD w ciągu czterech miesięcy), a sprzedający jest zobowiązany do zapłacenia kupującemu różnicy 45 USD.

Sprowadza się więc do:

1. Czy cena instrumentu bazowego przekroczy cenę wykonania?
2. Jeśli tak, to do jakiej wysokości może dojść cena instrumentu bazowego (ponieważ od tego zależy spłata dla kupującego)?

Wskazuje to na duże ryzyko podejmowane przez sprzedawcę, co prowadzi do pytania – po co ktoś miałby sprzedawać takie połączenie, skoro nie dostanie nic za ryzyko, które podejmuje?

Naszym celem jest ustalenie jednej ceny, którą sprzedawca powinien obciążyć kupującego, co może zrekompensować mu całkowite ryzyko, jakie podejmuje w ciągu roku – zarówno w regionie płatności zerowej (czerwony), jak i liniowym (niebieski).. Cena powinna być uczciwa i akceptowalna zarówno dla kupującego, jak i sprzedającego. Jeśli nie, to ten, kto jest w niekorzystnej sytuacji, jeśli chodzi o płacenie lub otrzymywanie nieuczciwej ceny, nie będzie uczestniczyć w rynku, co zniweczy cel handlu. Model Blacka-Scholesa ma na celu ustalenie tej godziwej ceny, biorąc pod uwagę stałe wahania ceny akcji, wartość pieniądza w czasie, cenę wykonania opcji i czas do wygaśnięcia opcji. Podobnie jak w modelu BS, zobaczmy, jak możemy podejść do oceny tego dla naszego przykładu przy użyciu naszych własnych metod.

Jak ocenić wewnętrzną wartość w regionie niebieskim?

Dostępnych jest kilka metod przewidywania oczekiwanego ruchu cen w przyszłości w danym przedziale czasowym:

• Można analizować podobne ruchy cen o tym samym czasie trwania w niedawnej przeszłości. Historyczna cena zamknięcia IBM wskazuje, że w ciągu ostatniego roku (2 stycznia 2014 r. Do 31 grudnia 2014 r.) Cena spadła do 160,44 USD ze 185,53 USD, co oznacza spadek o 13,5%. Czy możemy zawrzeć zmianę ceny o -13,5% w przypadku IBM?
• Dalsza szczegółowa kontrola wskazuje, że osiągnął on roczny rekord wynoszący 199,21 USD (10 kwietnia 2014 r.) I roczny najniższy poziom 150,5 USD (16 grudnia 2014 r.). W oparciu o dzień rozpoczęcia, 2 stycznia 2014 r., I cenę zamknięcia w wysokości 185,53 USD, zmiana procentowa waha się od + 7,37% do -18,88%. Teraz zakres zmienności wygląda na znacznie szerszy w porównaniu z wcześniej obliczonym spadkiem o 13,5%.

Można przeprowadzić podobną analizę i obserwacje dotyczące danych historycznych. Aby kontynuować rozwój naszego modelu cenowego, przyjmijmy tę prostą metodologię do oceny przyszłych zmian cen.

Załóżmy, że IBM rośnie o 10% każdego roku (na podstawie danych historycznych z ostatnich 20 lat). Podstawowe statystyki wskazują, że prawdopodobieństwo zmiany kursu akcji IBM na poziomie około + 10% będzie znacznie wyższe niż prawdopodobieństwo, że cena IBM wzrośnie o 20% lub spadnie o 30%, przy założeniu, że historyczne wzorce się powtórzą. Gromadząc podobne punkty danych historycznych wraz z wartościami prawdopodobieństwa, ogólny oczekiwany zwrot z kursu akcji IBM w rocznym przedziale czasowym można obliczyć jako średnią ważoną prawdopodobieństw i powiązanych zwrotów. Załóżmy na przykład, że historyczne dane cenowe IBM wskazują na następujące ruchy:

• (-10%) w 25% przypadków,
• + 10% w 35% przypadków,
• + 15% w 20% przypadków,
• + 20%  w 10% przypadków,
• + 25% w 5% przypadków i
• (-15%) w 5% przypadków.

W związku z tym średnia ważona (lub wartość oczekiwana) wynosi:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 15% * 5%) / 100% = 6,5%

Oznacza to, że średnio oczekuje się, że cena akcji IBM zwróci się w ciągu jednego roku o + 6,5% za każdego dolara. Jeśli ktoś kupi akcje IBM z rocznym horyzontem i ceną kupna 155 dolarów, można spodziewać się zwrotu netto w wysokości 155 * 6,5% = 10,075 dolarów.

Jednak dotyczy to zwrotu zapasów. Musimy szukać podobnych oczekiwanych zwrotów dla opcji kupna.

W oparciu o zerową wypłatę wezwania poniżej ceny wykonania (istniejące 155 USD – wezwanie do bankomatu), wszystkie ujemne ruchy wygenerują zerowe wypłaty, podczas gdy wszystkie pozytywne ruchy powyżej ceny wykonania wygenerują równoważną wypłatę. Oczekiwany zwrot z opcji kupna wyniesie zatem:

( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 0 % * 5%) / 100% = 9,75%

Oznacza to, że na każde 100 $ zainwestowane w zakup tej opcji można spodziewać się 9,75 $ (na podstawie powyższych założeń).

Jednak nadal ogranicza się to do wyceny wartości godziwej wewnętrznej kwoty opcji i nie ujmuje prawidłowo ryzyka ponoszonego przez sprzedającego opcje w związku z wysokimi wahaniami, które mogą wystąpić w międzyczasie (w przypadku wyżej wspomnianych wysokich i niskich ceny). Oprócz wartości wewnętrznej, jaką cenę mogą uzgodnić kupujący i sprzedający, aby sprzedający był sprawiedliwie wynagradzany za ryzyko, które przejmuje w ciągu jednego roku?

Te wahania mogą się znacznie różnić, a sprzedawca może mieć własną interpretację tego, ile chce za to wynagrodzić. Model Blacka-Scholesa zakłada opcje typu europejskiego, tj. Brak wykonania przed datą wygaśnięcia. W związku z tym pozostaje on niezależny od wahań cen pośrednich i opiera swoją wycenę na całych dniach handlu.

W prawdziwym handlu dziennym zmienność ta odgrywa ważną rolę w ustalaniu cen opcji. Niebieska funkcja wypłaty, którą często widzimy, jest w rzeczywistości wypłatą w dniu wygaśnięcia. Realistycznie, cena opcji (różowy wykres) jest zawsze wyższa niż wypłata (niebieski wykres), co wskazuje na cenę, jaką sprzedający przyjmuje, aby zrekompensować swoje zdolności do podejmowania ryzyka. Dlatego cena opcji jest również nazywana „premią” opcji – zasadniczo wskazuje premię za ryzyko.

Można to uwzględnić w naszym modelu wyceny, w zależności od oczekiwanej zmienności ceny akcji i oczekiwanej wartości, która przyniosłaby zysk.

Model Blacka-Scholesa robi to sprawnie (oczywiście w ramach własnych założeń) w następujący sposób:

Model BS zakłada log-normalny rozkład ruchów cen akcji, co uzasadnia użycie N (d1) i N (d2).

• W pierwszej części S oznacza aktualną cenę akcji.
• N (d1) wskazuje prawdopodobieństwo aktualnego ruchu cen akcji.

Jeśli ta opcja zostanie opłacona, umożliwiając kupującemu skorzystanie z tej opcji, otrzyma on jedną akcję bazowych akcji IBM. Jeśli trader zrealizuje ją dzisiaj, wówczas S * N (d1) reprezentuje oczekiwaną wartość opcji na dzień dzisiejszy.

W drugiej części X oznacza cenę wykonania.

• N (d2) oznacza prawdopodobieństwo, że cena akcji będzie wyższa od ceny wykonania.
• Zatem X * N (d2) reprezentuje oczekiwaną wartość ceny akcji pozostającej powyżej  kursu wykonania.

Ponieważ model Blacka-Scholesa zakłada opcje w stylu europejskim, w których wykonanie jest możliwe tylko na końcu, wartość oczekiwaną reprezentowaną powyżej przez X * N (d2) należy zdyskontować dla wartości pieniądza w czasie. W związku z tym ostatnia część jest mnożona przez okres wykładniczy podniesiony do stopy procentowej w danym okresie.

Różnica netto tych dwóch warunków wskazuje wartość ceny opcji na dzień dzisiejszy (przy czym drugi termin jest zdyskontowany)

W naszych ramach takie ruchy cen można dokładniej uwzględnić na wiele sposobów:

• Dalsze udoskonalenie obliczeń spodziewanego zwrotu poprzez rozszerzenie zakresu na drobniejsze przedziały, aby uwzględnić ruchy cen w ciągu dnia / w ciągu dnia
• Uwzględnienie aktualnych danych rynkowych, ponieważ odzwierciedlają bieżącą aktywność (podobnie jak zmienność implikowana )
• Oczekiwane zwroty w dniu wygaśnięcia, które można zdyskontować z powrotem do dnia dzisiejszego w celu uzyskania realistycznej wyceny i dodatkowo zmniejszyć w stosunku do wartości bieżącej

W ten sposób widzimy, że nie ma ograniczeń co do założeń, metodologii i dostosowań, które należy wybrać do analizy ilościowej. W zależności od aktywów, które mają być przedmiotem obrotu lub inwestycji, które należy rozważyć, można opracować samodzielnie opracowany model. Ważne jest, aby pamiętać, że zmienność ruchów cenowych różnych klas aktywów różna-Equities mieć  zmienność nachylenia, forex ma  zmienności boczyć -i użytkownicy powinni uwzględniać obowiązujące wzorce zmienności w swoich modelach. Założenia i wady są integralną częścią każdego modelu, a umiejętne zastosowanie modeli w rzeczywistych scenariuszach handlowych może przynieść lepsze wyniki.

Podsumowanie

Ponieważ złożone aktywa wchodzą na rynki lub nawet zwykłe aktywa waniliowe wchodzą w złożone formy handlu, modelowanie ilościowe i analiza stają się obowiązkowe dla wyceny. Niestety, żaden model matematyczny nie jest pozbawiony zestawu wad i założeń. Najlepszym podejściem jest ograniczenie założeń do minimum i zdawanie sobie sprawy z sugerowanych wad, które mogą pomóc w nakreśleniu granic wykorzystania i zastosowania modeli.