Korzystanie z powszechnych metod rozkładu prawdopodobieństwa zapasów
Rozkład prawdopodobieństwa rysowania
Niemal niezależnie od twojego poglądu na przewidywalność lub efektywność rynków, prawdopodobnie zgodzisz się, że w przypadku większości aktywów gwarantowane zwroty są niepewne lub ryzykowne. Jeśli zignorujemy matematykę, która leży u podstaw rozkładów prawdopodobieństwa, zobaczymy, że są to obrazy opisujące określony pogląd na niepewność. Rozkład prawdopodobieństwa jest obliczeniem statystycznym opisującym prawdopodobieństwo, że dana zmienna znajdzie się w określonym przedziale lub w określonym przedziale na wykresie kreślarskim.
Niepewność odnosi się do losowości. Różni się od braku przewidywalności lub nieefektywności rynku. Pojawiające się badania pokazują, że rynki finansowe są zarówno niepewne, jak i przewidywalne. Ponadto rynki mogą być wydajne, ale także niepewne.
W finansach używamy rozkładów prawdopodobieństwa, aby narysować obrazy ilustrujące nasz pogląd na wrażliwość zwrotu aktywów, gdy uważamy, że zwrot z aktywów można uznać za zmienną losową. W tym artykule omówimy kilka najpopularniejszych rozkładów prawdopodobieństwa i pokażemy, jak je obliczyć.
Rozkłady można sklasyfikować jako dyskretne lub ciągłe oraz według tego, czy jest to funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF), czy też dystrybucja skumulowana.
Dystrybucje dyskretne a ciągłe
Dyskretne odnosi się do zmiennej losowej pobranej z skończonego zbioru możliwych wyników. Na przykład sześciościenna kostka ma sześć dyskretnych wyników. Rozkład ciągły odnosi się do zmiennej losowej pobranej z nieskończonego zbioru. Przykłady ciągłych zmiennych losowych obejmują prędkość, odległość i zwrot niektórych aktywów. Dyskretna zmienna losowa jest zwykle zilustrowana kropkami lub kreskami, a zmienna ciągła jest zilustrowana linią ciągłą. Poniższy rysunek przedstawia rozkłady dyskretne i ciągłe dla rozkładu normalnego ze średnią (oczekiwaną wartością) równą 50 i odchyleniem standardowym równym 10:
Rozkład jest próbą przedstawienia niepewności. W tym przypadku wynik 50 jest najbardziej prawdopodobny, ale zdarzy się tylko w około 4% przypadków; wynik 40 to jedno odchylenie standardowe poniżej średniej i wystąpi w nieco mniej niż 2,5% przypadków.
Gęstość prawdopodobieństwa a dystrybucja skumulowana
Drugie rozróżnienie dotyczy funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF) i dystrybuanty skumulowanej. PDF to prawdopodobieństwo, że nasza zmienna losowa osiągnie określoną wartość (lub w przypadku zmiennej ciągłej, znajdzie się między przedziałem). Pokazujemy to, wskazując prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X będzie równa rzeczywistej wartości x:
Dystrybucja skumulowana to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X będzie mniejsza lub równa rzeczywistej wartości x:
P.
WcześniejszeP[x<=X]Wcześniejsze
lub na przykład, jeśli twój wzrost jest zmienną losową o oczekiwanej wartości 5’10 „cali (średni wzrost twoich rodziców), wtedy pytanie PDF brzmi:” Jakie jest prawdopodobieństwo, że osiągniesz wysokość 5’4 „? ” Odpowiednie pytanie funkcji rozkładu skumulowanego brzmi: „Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziesz krótszy niż 5’4”?
Powyższy rysunek przedstawia dwa rozkłady normalne. Teraz możesz zobaczyć, że są to wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF). Jeśli ponownie wykreślimy dokładnie ten sam rozkład jako dystrybucję skumulowaną, otrzymamy:
Skumulowany rozkład musi ostatecznie osiągnąć 1,0 lub 100% na osi y. Jeśli podniesiemy poprzeczkę wystarczająco wysoko, to w pewnym momencie praktycznie wszystkie wyniki znajdą się poniżej tego poprzeczki (możemy powiedzieć, że rozkład jest zazwyczaj asymptotyczny do 1,0).
Finanse, nauka społeczna, nie są tak czyste jak nauki fizyczne. Na przykład grawitacja ma elegancką formułę, na której możemy zawsze polegać. Z drugiej strony zwroty z aktywów finansowych nie mogą być tak konsekwentnie replikowane. Zdumiewająca ilość pieniędzy została utracona przez lata przez sprytnych ludzi, którzy mylili dokładne rozkłady (tj. Jakby wywodzące się z nauk fizycznych) z niechlujnymi, niewiarygodnymi przybliżeniami, które próbują zobrazować zwroty finansowe. W finansach rozkłady prawdopodobieństwa to niewiele więcej niż prymitywne reprezentacje obrazkowe.
Jednolita dystrybucja
Najprostszym i najpopularniejszym rozkładem jest rozkład równomierny, w którym wszystkie wyniki mają równe szanse wystąpienia. Sześciokątna matryca ma równomierną dystrybucję. Prawdopodobieństwo każdego wyniku wynosi około 16,67% (1/6). Nasz wykres poniżej pokazuje linię ciągłą (dzięki czemu możesz ją lepiej zobaczyć), ale pamiętaj, że jest to dystrybucja dyskretna – nie możesz wyrzucić 2,5 ani 2,11:
Teraz rzuć dwiema kośćmi razem, jak pokazano na poniższym rysunku, a rozkład nie jest już jednolity. Osiąga szczyt na siódmej, co zdarza się, że ma 16,67% szansy. W takim przypadku wszystkie inne wyniki są mniej prawdopodobne:
Teraz rzuć razem trzema kośćmi, jak pokazano na poniższym rysunku. Zaczynamy widzieć skutki najbardziej niesamowitego twierdzenia: centralnego twierdzenia granicznego. Centralne twierdzenie graniczne odważnie obiecuje, że suma lub średnia szeregu zmiennych niezależnych będzie miała tendencję do uzyskania rozkładu normalnego, niezależnie od ich własnego rozkładu. Nasze kości są pojedynczo jednolite, ale łącz je i – gdy dodamy więcej kości – niemal magicznie ich suma będzie zmierzać w kierunku znajomego rozkładu normalnego.
Rozkład dwumianowy
Rozkład dwumianowy odzwierciedla serię prób typu „albo / albo”, takich jak seria rzutów monetą. Nazywa się to próbami Bernoulliego – które odnoszą się do wydarzeń, które mają tylko dwa wyniki – ale nie potrzebujesz nawet (50/50) szans. Poniższy rozkład dwumianowy przedstawia serię 10 rzutów monetą, w których prawdopodobieństwo orła wynosi 50% (p-0,5). Na poniższym rysunku widać, że szansa na odwrócenie dokładnie pięciu orłów i pięciu reszek (kolejność nie ma znaczenia) wynosi zaledwie 25%:
Jeśli rozkład dwumianowy wygląda dla ciebie normalnie, masz rację. Wraz ze wzrostem liczby prób rozkład dwumianowy zmierza w kierunku rozkładu normalnego.
Lognormal Distribution
Rozkład logarytmiczno-normalny jest bardzo ważny w finansach, ponieważ wiele najpopularniejszych modeli zakłada, że ceny akcji są rozkładane logarytmicznie. Łatwo jest pomylić zwrot z aktywów z poziomem cen.
Zwroty z aktywów są często traktowane jako normalne – akcje mogą wzrosnąć o 10% lub spaść o 10%. Poziomy cen są często traktowane jako lognormalne – akcje o wartości 10 USD mogą wzrosnąć do 30 USD, ale nie mogą spaść do -10 USD. Rozkład logarytmiczno-normalny jest różny od zera i pochylony w prawo (ponownie akcje nie mogą spaść poniżej zera, ale nie mają teoretycznego limitu wzrostu):
Poissona
Rozkład Poissona jest używany do opisania prawdopodobieństwa wystąpienia określonego zdarzenia (np. Dziennej utraty portfela poniżej 5%) w określonym przedziale czasu. Tak więc w poniższym przykładzie zakładamy, że w pewnym procesie operacyjnym poziom błędu wynosi 3%. Ponadto zakładamy 100 prób losowych; rozkład Poissona opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej liczby błędów w pewnym okresie, na przykład w ciągu jednego dnia.
T Studenta
Rozkład ucznia jest również bardzo popularny, ponieważ ma nieco „grubszy ogon” niż rozkład normalny. T ucznia jest zwykle używany, gdy wielkość naszej próby jest mała (tj. Mniej niż 30). W finansach lewy ogon reprezentuje straty. Dlatego jeśli liczebność próby jest mała, ośmielamy się lekceważyć szanse na dużą stratę. Pomoże nam tutaj grubszy ogon na T ucznia. Mimo to zdarza się, że gruby ogon tej dystrybucji często nie jest wystarczająco gruby. Zwroty finansowe mają tendencję do wykazywania, w rzadkich, katastrofalnych przypadkach, naprawdę grubych strat (tj. Większych niż przewidywano w rozkładach). Doszło do tego, że stracono duże sumy pieniędzy.
Dystrybucja Beta
Wreszcie, rozkład beta (nie mylić z parametrem beta w modelu wyceny aktywów kapitałowych ) jest popularny w modelach, które szacują stopy odzysku z portfeli obligacji. Dystrybucja beta jest odtwarzaczem użytkowym dystrybucji. Podobnie jak normalnie, potrzebuje tylko dwóch parametrów (alfa i beta), ale można je połączyć, aby uzyskać niezwykłą elastyczność. Poniżej zilustrowano cztery możliwe dystrybucje beta:
Podsumowanie
Podobnie jak wiele innych butów w naszej statystycznej szafie na buty, staramy się wybrać najlepiej pasujące na tę okazję, ale tak naprawdę nie wiemy, jaka pogoda nas przyniesie. Możemy wybrać rozkład normalny, a następnie odkryć, że zaniżono straty lewostronne; więc przełączamy się na wypaczoną dystrybucję, tylko po to, aby stwierdzić, że dane wyglądają bardziej „normalnie” w następnym okresie. Elegancka matematyka pod spodem może skusić cię do myślenia, że te rozkłady ujawniają głębszą prawdę, ale jest bardziej prawdopodobne, że są one zwykłymi ludzkimi artefaktami. Na przykład wszystkie przeanalizowane przez nas rozkłady są dość płynne, ale niektóre zwroty z aktywów skaczą w sposób nieciągły.
Rozkład normalny jest wszechobecny i elegancki i wymaga tylko dwóch parametrów (średniej i rozkładu). Wiele innych rozkładów zbiega się w kierunku normalnym (np. Dwumianowy i Poissona). Jednak wiele sytuacji, takich jak zwroty funduszy hedgingowych, portfele kredytowe i poważne straty, nie zasługuje na normalne rozkłady.