Zmienna losowa

Co to jest zmienna losowa?

Zmienna losowa to zmienna, której wartość jest nieznana lub funkcja przypisująca wartości każdemu z wyników eksperymentu. Zmienne losowe są często oznaczane literami i można je klasyfikować jako dyskretne, czyli zmienne o określonych wartościach lub zmienne ciągłe, które mogą mieć dowolne wartości w ciągłym zakresie.

Zmienne losowe są często używane w analizie ekonometrycznej lub regresji w celu określenia zależności statystycznych między sobą.

Zrozumienie zmiennej losowej

W prawdopodobieństwie i statystyce zmienne losowe służą do ilościowego określania wyników zdarzenia losowego, a zatem mogą przyjmować wiele wartości. Zmienne losowe muszą być mierzalne i zazwyczaj są to liczby rzeczywiste. Na przykład litera X może być wyznaczona jako reprezentująca sumę otrzymanych liczb po rzucie trzema kośćmi. W tym przypadku X może wynosić 3 (1 + 1+ 1), 18 (6 + 6 + 6) lub gdzieś między 3 a 18, ponieważ najwyższa liczba kości to 6, a najniższa to 1.

Zmienna losowa różni się od zmiennej algebraicznej. Zmienna w równaniu algebraicznym jest nieznaną wartością, którą można obliczyć. Równanie 10 + x = 13 pokazuje, że możemy obliczyć określoną wartość dla x, która wynosi 3. Z drugiej strony zmienna losowa ma zbiór wartości, a każda z tych wartości może być wynikiem wynikowym, jak widać na przykładzie kości powyżej.

W świecie korporacji zmienne losowe można przypisać do nieruchomości, takich jak średnia cena aktywów w danym okresie, zwrot z inwestycji po określonej liczbie lat, szacowany wskaźnik obrotów w firmie w ciągu najbliższych sześciu miesięcy, itp. Analitycy ryzyka przypisują zmienne losowe do modeli ryzyka, gdy chcą oszacować prawdopodobieństwo wystąpienia niekorzystnego zdarzenia. Zmienne te są przedstawiane za pomocą narzędzi, takich jak tabele scenariuszy i analizy wrażliwości, z których zarządzający ryzykiem korzystają przy podejmowaniu decyzji dotyczących ograniczania ryzyka.

Rodzaje zmiennych losowych

Zmienna losowa może być dyskretna lub ciągła. Dyskretne zmienne losowe przyjmują policzalną liczbę różnych wartości. Rozważmy eksperyment, w którym monetą rzuca się trzy razy. Jeśli X reprezentuje liczbę razy, kiedy moneta wypadnie orzeł, to X jest dyskretną zmienną losową, która może mieć tylko wartości 0, 1, 2, 3 (od braku orła w trzech kolejnych rzutach monetą do wszystkich orłów). Żadna inna wartość nie jest możliwa dla X.

Ciągłe zmienne losowe mogą reprezentować dowolną wartość w określonym zakresie lub interwale i przyjmować nieskończoną liczbę możliwych wartości. Przykładem ciągłej zmiennej losowej może być eksperyment polegający na pomiarze ilości opadów w mieście w ciągu roku lub średniej wysokości losowej grupy 25 osób.

Opierając się na tym drugim przypadku, jeśli Y reprezentuje zmienną losową dla średniego wzrostu losowej grupy 25 osób, zobaczysz, że wynik jest liczbą ciągłą, ponieważ wysokość może wynosić 5 stóp lub 5,01 stopy lub 50001 stóp. to nieskończona liczba możliwych wartości wysokości.

Zmienna losowa ma rozkład prawdopodobieństwa, który reprezentuje prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnej z możliwych wartości. Powiedzmy, że zmienna losowa Z to liczba na górnej ściance kostki, gdy zostanie ona wyrzucona raz. Możliwymi wartościami dla Z będą zatem 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Prawdopodobieństwo każdej z tych wartości wynosi 1/6, ponieważ wszystkie z nich są jednakowo równe wartości Z.

Na przykład prawdopodobieństwo otrzymania 3 lub P (Z = 3), gdy rzucona zostanie kostka, wynosi 1/6, podobnie jak prawdopodobieństwo uzyskania 4, 2 lub dowolnej innej liczby na wszystkich sześciu ścianach umierać. Zauważ, że suma wszystkich prawdopodobieństw wynosi 1.

Przykład zmiennej losowej

Typowym przykładem zmiennej losowej jest wynik rzutu monetą. Rozważ rozkład prawdopodobieństwa, w którym nie ma równego prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia losowego. Jeśli zmienna losowa Y to liczba orłów, które otrzymamy po rzucie dwiema monetami, to Y może wynosić 0, 1 lub 2. Oznacza to, że nie moglibyśmy mieć orłów, jednej lub obu orłów w rzucie dwiema monetami.

Jednak obie monety lądują na cztery różne sposoby: TT, HT, TH i HH. Zatem P (Y = 0) = 1/4, ponieważ mamy jedną szansę na brak orła (tj. Dwa reszki [TT], gdy rzucamy monetami). Podobnie, prawdopodobieństwo zdobycia dwóch orłów (HH) również wynosi 1/4. Zauważ, że zdobycie jednej głowy ma prawdopodobieństwo wystąpienia podwójnego: w HT i TH. W tym przypadku P (Y = 1) = 2/4 = 1/2.