Zastosowania i ograniczenia zmienności
Inwestorzy lubią skupiać się na obietnicy wysokich zwrotów, ale powinni również zapytać, jakie ryzyko muszą podjąć w zamian za te zwroty. Chociaż często mówimy o ryzyku w sensie ogólnym, istnieją również formalne wyrażenia relacji ryzyko-nagroda.
Na przykład współczynnik Sharpe’a mierzy nadwyżkę zwrotu na jednostkę ryzyka, gdzie ryzyko jest obliczane jako zmienność, która jest tradycyjną i popularną miarą ryzyka. Jego właściwości statystyczne są dobrze znane i wpisuje się w kilka ram, takich jak nowoczesna teoria portfela i model Blacka-Scholesa. W tym artykule przyjrzymy się zmienności, aby zrozumieć jej zastosowania i ograniczenia.
Odchylenie standardowe w ujęciu rocznym
W przeciwieństwie do zmienności implikowanej – która należy do teorii wyceny opcji i jest prognozą szacunkową opartą na konsensusie rynkowym – zwykła zmienność wygląda wstecz. Konkretnie, to w ujęciu rocznym odchylenie standardowe od zwrotów historycznych.
Tradycyjne ramy ryzyka, które opierają się na odchyleniu standardowym, ogólnie zakładają, że zwroty są zgodne z normalnym rozkładem w kształcie dzwonu. Rozkłady normalne dają nam przydatne wskazówki: w około dwóch trzecich przypadków (68,3%) zwroty powinny mieścić się w granicach jednego odchylenia standardowego (+/-); aw 95% przypadków zwroty powinny mieścić się w granicach dwóch odchyleń standardowych. Dwie cechy wykresu rozkładu normalnego to cienkie „ogony” i doskonała symetria. Chude ogony oznaczają bardzo niskie występowanie (około 0,3% czasu) zwrotów, które są więcej niż trzy odchylenia standardowe od średniej. Symetria oznacza, że częstotliwość i wielkość wzrostu inflacji zysków jest lustrzanym odbiciem minusem strat.
W konsekwencji tradycyjne modele traktują wszelką niepewność jako ryzyko, niezależnie od kierunku. Jak wiele osób pokazało, jest to problem, jeśli zwroty nie są symetryczne – inwestorzy martwią się o swoje straty „na lewo” od średniej, ale nie martwią się o zyski na prawo od średniej.
Ilustrujemy to dziwactwo poniżej dwoma fikcyjnymi akcjami. Akcje spadające (linia niebieska) są całkowicie pozbawione dyspersji i dlatego powodują zmienność wynoszącą zero, ale akcje rosnące – ponieważ wykazuje kilka wstrząsów wzrostowych, ale nie ma ani jednego spadku – generują zmienność (odchylenie standardowe) na poziomie 10%.
Właściwości teoretyczne
Na przykład, kiedy obliczymy zmienność indeksu S&P 500 na 31 stycznia 2004 r., Otrzymamy od 14,7% do 21,1%. Dlaczego taki zakres? Ponieważ musimy wybrać zarówno interwał, jak i okres historyczny. Jeśli chodzi o interwał, moglibyśmy zebrać serię miesięcznych, tygodniowych lub dziennych (nawet śróddziennych) zwrotów. A nasza seria zwrotów może obejmować okres historyczny o dowolnej długości, na przykład trzy lata, pięć lat lub 10 lat. Poniżej obliczyliśmy odchylenie standardowe zwrotów z indeksu S&P 500 w okresie 10 lat, używając trzech różnych przedziałów:
Zauważ, że zmienność rośnie wraz ze wzrostem interwału, ale nie prawie proporcjonalnie: tydzień nie jest prawie pięć razy większy niż kwota dzienna, a miesiąc nie jest prawie cztery razy tygodniowy. Doszliśmy do kluczowego aspektu teorii błądzenia losowego : skali odchylenia standardowego (wzrostu) proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z czasu. Dlatego też, jeśli dzienne odchylenie standardowe wynosi 1,1% i jeśli w roku jest 250 dni handlowych, roczne odchylenie standardowe jest dziennym odchyleniem standardowym wynoszącym 1,1% pomnożonym przez pierwiastek kwadratowy z 250 (1,1% x 15,8 = 18,1%). Wiedząc o tym, możemy anualizować odchylenia standardowe przedziału dla indeksu S&P 500, mnożąc przez pierwiastek kwadratowy z liczby przedziałów w roku:
Inna teoretyczna właściwość zmienności może Cię zaskoczyć lub nie: powoduje erozję zwrotów. Wynika to z kluczowego założenia idei błądzenia losowego: zwroty wyrażane są w procentach. Wyobraź sobie, że zaczynasz od 100 $, a następnie zyskujesz 10%, aby otrzymać 110 $. Wtedy tracisz 10%, co daje 99 $ (110 $ x 90% = 99 $). Następnie ponownie zyskujesz 10%, do 108,90 USD netto (99 USD x 110% = 108,9 USD). Ostatecznie tracisz 10% do 98,01 $ netto. Może to wydawać się sprzeczne z intuicją, ale Twój kapitał powoli spada, mimo że średni zysk wynosi 0%!
Jeśli na przykład spodziewasz się średniego rocznego wzrostu w wysokości 10% rocznie (tj. Średniej arytmetycznej), okaże się, że Twój długoterminowy oczekiwany zysk jest mniejszy niż 10% rocznie. W rzeczywistości zostanie zmniejszona o około połowę wariancji (gdzie wariancja jest odchyleniem standardowym podniesionym do kwadratu). W czystej hipotetyce poniżej zaczynamy od 100 USD, a następnie wyobrażamy sobie pięć lat zmienności, które kończą się kwotą 157 USD:
Czy zwroty są prawidłowe? Ramy teoretyczne są niewątpliwie eleganckie, ale zależą od dobrze wychowanych zwrotów. Mianowicie rozkład normalny i spacer losowy (tj. Niezależność od jednego okresu do drugiego). Jak to się ma do rzeczywistości? Zebraliśmy poniżej dzienne zwroty z ostatnich 10 lat dla S&P 500 i Nasdaq (około 2500 dziennych obserwacji):
Jak można się spodziewać, zmienność indeksu Nasdaq (roczne odchylenie standardowe 28,8%) jest większa niż zmienność indeksu S&P 500 (roczne odchylenie standardowe na poziomie 18,1%). Możemy zaobserwować dwie różnice między rozkładem normalnym a rzeczywistymi zwrotami. Po pierwsze, rzeczywiste zwroty mają wyższe wartości szczytowe – co oznacza większą przewagę zwrotów w pobliżu średniej. Po drugie, rzeczywiste zyski mają grubsze ogony. (Nasze odkrycia pokrywają się nieco z bardziej obszernymi badaniami akademickimi, które również mają tendencję do znajdowania wysokich szczytów i grubych ogonów; terminem technicznym na to jest kurtoza ). Powiedzmy, że uważamy minus trzy odchylenia standardowe za dużą stratę: indeks S&P 500 odnotował dzienną stratę w wysokości minus trzy odchylenia standardowe w około -3,4% przypadków. Krzywa normalna przewiduje, że taka strata wystąpi około trzy razy w ciągu 10 lat, ale w rzeczywistości wydarzyła się 14 razy!
To są rozkłady zwrotów z poszczególnych przedziałów, ale co teoria mówi o zwrotach w czasie? W ramach testu przyjrzyjmy się rzeczywistym rozkładom dziennym S&P 500 powyżej. W tym przypadku średni roczny zwrot (w ciągu ostatnich 10 lat) wyniósł około 10,6% i, jak omówiono, zmienność roczna wyniosła 18,1%. Tutaj przeprowadzamy hipotetyczną próbę, zaczynając od 100 USD i utrzymując ją przez 10 lat, ale każdego roku wystawiamy inwestycję na losowy wynik, który wynosi średnio 10,6% przy odchyleniu standardowym 18,1%. Ta próba została wykonana 500 razy, co czyni ją tak zwaną symulacją Monte Carlo. Ostateczne wyniki cenowe 500 prób przedstawiono poniżej:
Rozkład normalny jest pokazany jako tło wyłącznie w celu podkreślenia bardzo niestandardowych wyników cenowych. Technicznie rzecz biorąc, ostateczne wyniki cenowe są log-normalne (co oznacza, że gdyby oś x została przekonwertowana na logarytm naturalny z x, rozkład wyglądałby bardziej normalnie). Chodzi o to, że kilka wyników cenowych jest daleko po prawej: z 500 prób sześć wyników dało wynik końcowy za 700 USD! Te cenne nieliczne wyniki zarabiały średnio ponad 20% rocznie przez 10 lat. Po lewej stronie, ponieważ malejące saldo zmniejsza skumulowane efekty procentowych strat, otrzymaliśmy tylko kilka wyników końcowych, które były mniejsze niż 50 USD. Podsumowując trudny pomysł, możemy powiedzieć, że zwroty interwałowe – wyrażone w procentach – mają rozkład normalny, ale końcowe wyniki cenowe mają rozkład logarytmiczno-normalny.
Wreszcie, inne odkrycie naszych badań jest zgodne z „efektami erozji” zmienności: jeśli Twoja inwestycja zarabia dokładnie tyle samo rocznie, na koniec utrzymywałbyś około 273 USD (10,6% skumulowane w ciągu 10 lat). Ale w tym eksperymencie nasz ogólny oczekiwany zysk był bliższy 250 USD. Innymi słowy, średni (arytmetyczny) roczny przyrost wyniósł 10,6%, ale skumulowany (geometryczny) przyrost był mniejszy.
Należy pamiętać, że nasza symulacja zakłada losowy spacer: zakłada, że powrót z jednego okresu do drugiego jest całkowicie niezależny. Nie udowodniliśmy tego w żaden sposób i nie jest to trywialne założenie. Jeśli uważasz, że zwroty podążają za trendami, technicznie rzecz biorąc, twierdzisz, że wykazują one dodatnią korelację szeregową. Jeśli myślisz, że powracają do średniej, to technicznie mówisz, że wykazują ujemną korelację szeregową. Żadne stanowisko nie jest zgodne z niezależnością.
Bottom Line Zmienność jest rocznym odchylenie standardowe zysków. W tradycyjnych ramach teoretycznych nie tylko mierzy ryzyko, ale wpływa na oczekiwane długoterminowe (wielookresowe) zwroty. W związku z tym prosi nas o zaakceptowanie wątpliwych założeń, że zwroty z przedziału mają rozkład normalny i są niezależne. Jeśli te założenia są prawdziwe, wysoka zmienność jest mieczem obosiecznym: obniża oczekiwany długoterminowy zwrot (redukuje średnią arytmetyczną do średniej geometrycznej), ale zapewnia również większe szanse na kilka dużych zysków.