Zmienność stochastyczna
Co to jest zmienność stochastyczna?
Zmienność stochastyczna (SV) odnosi się do faktu, że zmienność cen aktywów jest zmienna i nie jest stała, jak zakłada model wyceny opcji Blacka Scholesa. Stochastyczne modelowanie zmienności próbuje rozwiązać ten problem w przypadku Blacka Scholesa, pozwalając zmienności na wahania w czasie.
Kluczowe wnioski
- Zmienność stochastyczna to koncepcja, która uwzględnia fakt, że zmienność cen aktywów zmienia się w czasie i nie jest stała.
- Wiele podstawowych modeli wyceny opcji, takich jak Black Scholes, zakłada stałą zmienność, co powoduje nieefektywność i błędy w wycenie.
- Modele stochastyczne, które pozwalają na losowe zmiany zmienności, takie jak model Hestona, próbują skorygować ten martwy punkt.
Zrozumienie zmienności stochastycznej
Słowo „stochastyczny” oznacza, że jakaś zmienna jest określona losowo i nie można jej dokładnie przewidzieć. Jednak zamiast tego można ustalić rozkład prawdopodobieństwa. W kontekście modelowania finansowego modelowanie stochastyczne iteruje z kolejnymi wartościami zmiennej losowej, które nie są od siebie niezależne. Nie-niezależne oznacza to, że podczas gdy wartość zmiennej będzie się zmieniać losowo, jej punkt początkowy będzie zależał od jej poprzedniej wartości, która była w związku z tym zależna od jej wcześniejszej wartości i tak dalej; opisuje to tak zwany spacer losowy.
Przykłady modeli stochastycznych obejmują model Hestona i model SABR dla opcji cenowych oraz model GARCH używany do analizy danych szeregów czasowych, w których uważa się, że błąd wariancji jest szeregowo autokorelowany.
Zmienność aktywów jest kluczowym składnikiem opcji cenowych. Stochastyczne modele zmienności powstały z potrzeby modyfikacji modelu Blacka Scholesa dla opcji cenowych, który nie uwzględniał skutecznie faktu, że zmienność ceny bazowego papieru wartościowego może ulec zmianie. Model Blacka Scholesa zamiast tego zakłada upraszczające założenie, że zmienność bazowego papieru wartościowego była stała. Modele stochastycznej zmienności korygują to, umożliwiając zmienność ceny bazowego papieru wartościowego jako zmienną losową. Pozwalając na zmianę ceny, stochastyczne modele zmienności poprawiły dokładność obliczeń i prognoz.
Stochastyczny model zmienności Hestona
Model Hestona to stochastyczny model zmienności stworzony przez badacza finansów Stevena Hestona w 1993 roku. Model wykorzystuje założenie, że zmienność jest mniej lub bardziej losowa i ma następujące cechy, które odróżniają ją od innych stochastycznych modeli zmienności:
- Uwzględnia korelację między ceną aktywa a jego zmiennością.
- Rozumie zmienność jako powrót do średniej.
- Daje rozwiązanie w postaci zamkniętej, co oznacza, że odpowiedź pochodzi z przyjętego zestawu operacji matematycznych.
- Nie wymaga, aby cena akcji podążała za logarytmicznym rozkładem prawdopodobieństwa.
Model Hestona zawiera również uśmiech zmienności, który pozwala na ważenie bardziej domniemanej zmienności względem uderzenia w dół w porównaniu z uderzeniami w górę. Nazwa „uśmiech” wynika z wklęsłego kształtu tych różnic zmienności na wykresie.