Badanie wykładniczo ważonej średniej kroczącej
Zmienność jest najpowszechniejszą miarą ryzyka, ale występuje w kilku wariantach. W poprzednim artykule pokazaliśmy, jak obliczyć prostą zmienność historyczną. W tym artykule poprawimy prostą zmienność i omówimy wykładniczo ważoną średnią ruchomą (EWMA).
Zmienność historyczna a zmienność domniemana
Najpierw przyjmijmy te dane z pewnej perspektywy. Istnieją dwa szerokie podejścia: zmienność historyczna i implikowana (lub niejawna). Podejście historyczne zakłada, że przeszłość jest prologiem; mierzymy historię w nadziei, że jest przewidywalna. Z drugiej strony zmienność implikowana ignoruje historię; rozwiązuje problem zmienności implikowanej przez ceny rynkowe. Ma nadzieję, że rynek wie najlepiej i że cena rynkowa zawiera, nawet jeśli w sposób dorozumiany, zgodne oszacowanie zmienności.
Jeśli skupimy się tylko na trzech podejściach historycznych (po lewej powyżej), mają one dwa wspólne kroki:
- Oblicz serię okresowych zwrotów
- Zastosuj schemat ważenia
Najpierw obliczamy okresowy zwrot. Zwykle jest to seria dziennych zwrotów, w których każdy zwrot jest wyrażany w sposób ciągły. Dla każdego dnia bierzemy logarytm naturalny stosunku cen akcji (tj. Dzisiejsza cena podzielona przez wczorajszą cenę itd.).
Daje to serię dziennych zwrotów, od u i do u i-m, w zależności od tego, ile dni (m = dni) mierzymy.
To prowadzi nas do drugiego kroku: tutaj te trzy podejścia się różnią. W poprzednim artykule pokazaliśmy, że przy kilku akceptowalnych uproszczeniach prosta wariancja jest średnią kwadratów zwrotów:
Variance=σn2=1m∑ja=1mun-12Where:m=Number of days measuredn=Day jau=DiFference OF return mromVeRgereturN \ begin {aligned} & \ text {Wariancja} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & m = \ text {Liczba mierzonych dni} \\ & n = \ text {Dzień} i \\ & u = \ text {Różnica zwrotu od średniego zwrotu} \\ \ end {aligned}WcześniejszeZmienność=σn2Wcześniejsze=m
Zauważ, że sumuje to każdy z okresowych zwrotów, a następnie dzieli tę sumę przez liczbę dni lub obserwacji (m). Tak więc jest to po prostu średnia kwadratów okresowych zwrotów. Innymi słowy, każdemu kwadratowemu zwrotowi przypisuje się taką samą wagę. Więc jeśli alfa (a) jest czynnikiem ważącym (konkretnie a = 1 / m), to prosta wariancja wygląda mniej więcej tak:
EWMA poprawia prostą wariancję Wadą tego podejścia jest to, że wszystkie zwroty mają taką samą wagę. Wczorajszy (bardzo niedawny) zwrot nie ma większego wpływu na wariancję niż zwrot z poprzedniego miesiąca. Ten problem został rozwiązany za pomocą wykładniczo ważonej średniej ruchomej (EWMA), w której nowsze zwroty mają większą wagę dla wariancji.
Wykładniczo ważona średnia ruchoma (EWMA) wprowadza lambdę, która jest nazywana parametrem wygładzania. Lambda musi być mniejsza niż jeden. Pod tym warunkiem, zamiast równych wag, każdy kwadratowy zwrot jest ważony przez mnożnik w następujący sposób:
Na przykład, RiskMetricsTM, ryzykiem finansowym spółki zarządzającej, ma tendencję do korzystania z lambda 0,94 lub 94%. W tym przypadku pierwszy (najbardziej aktualny) kwadratowy okresowy zwrot jest ważony przez (1-0,94) (.94) = 6%. Następny zwrot do kwadratu jest po prostu wielokrotnością lambda poprzedniej wagi; w tym przypadku 6% pomnożone przez 94% = 5,64%. A waga trzeciego dnia poprzedniego dnia wynosiła (1-0,94) (0,94) = 5,30%.
Takie jest znaczenie „wykładniczy” w EWMA: każda waga jest stałym mnożnikiem (tj. Lambda, który musi być mniejszy niż jeden) wagi z poprzedniego dnia. Zapewnia to wariancję ważoną lub tendencyjną w kierunku nowszych danych. Różnica między zwykłą zmiennością a EWMA dla Google jest pokazana poniżej.
Prosta zmienność efektywnie waży każdy okresowy zwrot o 0,196%, jak pokazano w kolumnie O (mieliśmy dwa lata dziennych danych o cenach akcji. To jest 509 dziennych zwrotów i 1/509 = 0,196%). Ale zauważ, że w kolumnie P przypisano wagę 6%, potem 5,64%, potem 5,3% i tak dalej. To jedyna różnica między prostą wariancją a EWMA.
Pamiętaj: po zsumowaniu całego szeregu (w kolumnie Q) mamy wariancję, która jest kwadratem odchylenia standardowego. Jeśli chcemy zmienności, musimy pamiętać, aby wziąć pierwiastek kwadratowy z tej wariancji.
Jaka jest różnica w dziennej zmienności między wariancją a EWMA w przypadku Google? To istotne: prosta wariancja dała nam dzienną zmienność na poziomie 2,4%, ale EWMA podała dzienną zmienność na poziomie zaledwie 1,4% (szczegóły w arkuszu kalkulacyjnym). Najwyraźniej zmienność Google ustabilizowała się ostatnio; w związku z tym prosta wariancja może być sztucznie zawyżona.
Dzisiejsza wariancja jest funkcją wariancji z poprzedniego dnia
Zauważysz, że musieliśmy obliczyć długą serię wykładniczo malejących wag. Nie będziemy tutaj robić matematyki, ale jedną z najlepszych cech EWMA jest to, że cała seria wygodnie sprowadza się do wzoru rekurencyjnego:
Rekursywne oznacza, że dzisiejsze odniesienia do wariancji (tj. Są funkcją) wariancji z poprzedniego dnia. Możesz znaleźć tę formułę również w arkuszu kalkulacyjnym i daje dokładnie taki sam wynik jak obliczenia odręczne! Mówi się: dzisiejsza wariancja (pod EWMA) równa się wczorajszej wariancji (ważonej lambda) plus wczorajszy kwadrat zwrotu (ważony jeden minus lambda). Zwróć uwagę, że po prostu dodajemy do siebie dwa wyrażenia: wczorajszą ważoną wariancję i wczorajszą ważoną, kwadratową stopę zwrotu.
Mimo to lambda jest naszym parametrem wygładzającym. Wyższa lambda (np. 94% RiskMetric) wskazuje na wolniejszy zanik szeregu – w ujęciu względnym będziemy mieli więcej punktów danych w szeregu i będą one „spadać” wolniej. Z drugiej strony, jeśli zmniejszymy lambdę, wskazujemy większy rozpad: wagi spadają szybciej i, w bezpośrednim wyniku szybkiego zaniku, wykorzystywanych jest mniej punktów danych. (W arkuszu kalkulacyjnym lambda jest wartością wejściową, więc możesz eksperymentować z jej czułością).
streszczenie
Zmienność to chwilowe odchylenie standardowe akcji i najpowszechniejsza miara ryzyka. Jest to również pierwiastek kwadratowy z wariancji. Możemy mierzyć wariancję historycznie lub niejawnie (zmienność implikowana). W przypadku pomiarów historycznych najłatwiejszą metodą jest prosta wariancja. Ale słabość wynikająca z prostej wariancji polega na tym, że wszystkie zwroty mają taką samą wagę. Mamy więc do czynienia z klasycznym kompromisem: zawsze chcemy więcej danych, ale im więcej danych mamy, tym bardziej nasze obliczenia są osłabiane przez odległe (mniej istotne) dane. Wykładniczo ważona średnia krocząca (EWMA) poprawia prostą wariancję poprzez przypisywanie wag do okresowych zwrotów. W ten sposób możemy oboje wykorzystać dużą próbę, ale także nadać większą wagę nowszym zwrotom.