Dystrybucja log-normalna i normalna
Matematyka stojąca za finansami może być nieco zagmatwana i żmudna. Na szczęście większość programów komputerowych wykonuje skomplikowane obliczenia. Jednak zrozumienie różnych terminów i metod statystycznych, ich znaczenia oraz tego, która najlepiej analizuje inwestycje, ma kluczowe znaczenie przy wyborze odpowiedniego zabezpieczenia i uzyskaniu pożądanego wpływu na portfel.
Jedną z ważnych decyzji jest wybór między rozkładem normalnym a rozkładem log- normalnym, oba są często przywoływane w literaturze naukowej. Przed wyborem musisz wiedzieć:
- Czym oni są
- Jakie są między nimi różnice
- Jak wpływają na decyzje inwestycyjne
Normalny versus Lognormal
W matematyce statystycznej do opisu prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia stosuje się zarówno rozkłady normalne, jak i log-normalne. Rzut monetą to łatwy do zrozumienia przykład prawdopodobieństwa. Jaki jest rozkład wyników, jeśli rzucisz monetą 1000 razy? To znaczy, ile razy wyląduje na głowach lub ogonach? Istnieje 50% prawdopodobieństwo, że wyląduje na orłach lub reszkach. Ten podstawowy przykład opisuje prawdopodobieństwo i rozkład wyników.
Istnieje wiele typów rozkładów, z których jednym jest rozkład krzywej normalnej lub dzwonowej.
W rozkładzie normalnym 68% (34% + 34%) wyników mieści się w zakresie jednego odchylenia standardowego, a 95% (68% + 13,5% + 13,5%) mieści się w zakresie dwóch odchyleń standardowych. W środku (punkt 0 na powyższym obrazku) mediana (środkowa wartość w zestawie), tryb (najczęściej występująca wartość) i średnia ( średnia arytmetyczna ) są takie same.
Rozkład log-normalny różni się od rozkładu normalnego na kilka sposobów. Główna różnica tkwi w jego kształcie: rozkład normalny jest symetryczny, podczas gdy rozkład logarytmiczno-normalny nie. Ponieważ wartości w rozkładzie logarytmiczno-normalnym są dodatnie, tworzą krzywą skośną w prawo.
Ta skośność jest ważna przy określaniu, który rozkład jest odpowiedni do wykorzystania przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych. Kolejnym rozróżnieniem jest to, że wartości użyte do wyprowadzenia rozkładu logarytmiczno-normalnego mają rozkład normalny.
Wyjaśnijmy na przykładzie. Inwestor chce poznać spodziewaną przyszłą cenę akcji. Ponieważ akcje rosną w złożonym tempie, muszą używać współczynnika wzrostu. Aby obliczyć możliwe oczekiwane ceny, wezmą bieżącą cenę akcji i pomnożą ją przez różne stopy zwrotu (które są matematycznie wyprowadzonymi współczynnikami wykładniczymi opartymi na łączeniu ), które, jak się zakłada, mają rozkład normalny. Gdy inwestor stale sumuje zyski, tworzą one rozkład logarytmiczno-normalny. Ten rozkład jest zawsze dodatni, nawet jeśli niektóre stopy zwrotu są ujemne, co będzie miało miejsce w 50% przypadków w normalnym rozkładzie. Przyszła cena akcji zawsze będzie dodatnia, ponieważ ceny akcji nie mogą spaść poniżej 0 USD.
Kiedy używać dystrybucji normalnej, a kiedy log-normalnej
Powyższy przykład pomógł nam dojść do tego, co jest naprawdę ważne dla inwestorów: kiedy stosować każdą metodę. Lognormal jest niezwykle przydatny podczas analizowania cen akcji. Dopóki zakłada się, że zastosowany czynnik wzrostu ma rozkład normalny (jak zakładamy przy stopie zwrotu), wówczas rozkład logarytmiczno-normalny ma sens. Rozkład normalny nie może być używany do modelowania cen akcji, ponieważ ma on stronę ujemną, a ceny akcji nie mogą spaść poniżej zera.
Innym podobnym zastosowaniem dystrybucji lognormalnej jest wycena opcji. Model Blacka-Scholesa – używany do wyceny opcji – wykorzystuje rozkład logarytmiczno-normalny jako podstawę do wyznaczania cen opcji.
I odwrotnie, rozkład normalny działa lepiej przy obliczaniu całkowitych zwrotów z portfela. Rozkład normalny jest stosowany, ponieważ średni ważony zwrot (iloczyn wagi papieru wartościowego w portfelu i jego stopy zwrotu) jest dokładniejszy przy opisywaniu rzeczywistej stopy zwrotu z portfela (dodatniej lub ujemnej), zwłaszcza jeśli wagi różnią się o duży stopień. Oto typowy przykład:
Chociaż log-normalny zwrot z całkowitych wyników portfela może być szybszy do obliczenia w dłuższym okresie, nie obejmuje on poszczególnych wag akcji, co może ogromnie zniekształcić zwrot. Ponadto zwroty z portfela mogą być dodatnie lub ujemne, a rozkład log-normalny nie uwzględni negatywnych aspektów.
Podsumowanie
Chociaż niuanse, które odróżniają rozkład normalny i log-normalny, mogą nam umykać przez większość czasu, wiedza o wyglądzie i cechach każdego rozkładu zapewni wgląd w modelowanie zwrotów portfela i przyszłych cen akcji.