Model Blacka-Scholesa

Jaki jest model Blacka-Scholesa?

Model Blacka-Scholesa, znany również jako model Blacka-Scholesa-Mertona (BSM), jest matematycznym modelem wyceny kontraktu opcyjnego. W szczególności model szacuje zmienność instrumentów finansowych w czasie.

Zrozumienie modelu Black Scholes

Model Blacka-Scholesa jest jedną z najważniejszych koncepcji współczesnej teorii finansowej. Został opracowany w 1973 roku przez Fischera Blacka, Roberta Mertona i Myrona Scholesa i jest nadal szeroko stosowany. Uważa się, że jest to jeden z najlepszych sposobów ustalania godziwej ceny opcji. Model Blacka-Scholesa wymaga pięciu zmiennych wejściowych: ceny wykonania opcji, bieżącej ceny akcji, czasu wygaśnięcia, stopy wolnej od ryzyka oraz zmienności.

Nazywany również Black-Scholes-Merton (BSM), był to pierwszy szeroko stosowany model wyceny opcji. Służy do obliczania teoretycznej wartości opcji na podstawie aktualnych cen akcji, oczekiwanych dywidend, ceny wykonania opcji, oczekiwanych stóp procentowych, czasu wygaśnięcia i oczekiwanej zmienności.

Wstępne równanie zostało wprowadzone w artykule Blacka i Scholesa z 1973 r. „Ceny opcji i zobowiązań korporacyjnych”, opublikowanym w Journal of Political Economy. Black zmarł dwa lata przed tym, jak Scholes i Merton otrzymali w 1997 roku Nagrodę Nobla z ekonomii za pracę nad znalezieniem nowej metody określania wartości instrumentów pochodnych.(Nagroda Nobla nie jest przyznawana pośmiertnie, jednak komitet Nobla uznał rolę Blacka w modelu Blacka-Scholesa)2.

Black-Scholes zakłada, że ​​instrumenty, takie jak akcje lub kontrakty futures, będą miały log-normalny rozkład cen po losowym spacerze ze stałym dryfem i zmiennością. Wykorzystując to założenie i uwzględniając inne ważne zmienne, równanie wyprowadza cenę opcji kupna typu europejskiego.

Dane wejściowe dla równania Blacka-Scholesa to zmienność, cena instrumentu  bazowego,  cena  wykonania opcji, czas do wygaśnięcia opcji oraz stopa procentowa wolna od ryzyka . Te zmienne teoretycznie umożliwiają sprzedawcom opcji ustalenie racjonalnych cen opcji, które sprzedają.

Ponadto model przewiduje, że cena aktywów będących przedmiotem intensywnego obrotu podąża za geometrycznymi ruchami Browna przy stałym dryfcie i zmienności. W przypadku opcji na akcje model obejmuje stałe wahania ceny akcji, wartość pieniądza w czasie, cenę wykonania opcji oraz czas do wygaśnięcia opcji.

Założenia Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa przyjmuje pewne założenia:

• Opcja jest europejska i może być wykonana tylko w momencie wygaśnięcia.
• W okresie obowiązywania opcji dywidendy nie są wypłacane.
• Rynki są wydajne (tj. Ruchów na rynku nie da się przewidzieć).
• Zakup opcji nie wiąże się z żadnymi kosztami transakcyjnymi.
• Stopa wolna od ryzyka i zmienność instrumentu bazowego są znane i stałe.
• Zwroty z aktywów bazowych mają rozkład logarytmiczny.

Podczas gdy pierwotny model Blacka-Scholesa nie uwzględniał skutków dywidend wypłaconych w okresie obowiązywania opcji, model jest często dostosowywany w celu uwzględnienia dywidend poprzez ustalenie   wartości akcji bazowych na dzień dywidendy. Model jest również modyfikowany przez wielu animatorów rynku sprzedaży opcji, aby uwzględnić wpływ opcji, które mogą zostać wykonane przed wygaśnięciem. Alternatywnie, firmy wykorzystają model trójmianowy lub model Bjerksunda-Stenslanda  do wyceny opcji w stylu amerykańskim, które są częściej przedmiotem obrotu.

Formuła Blacka-Scholesa

Matematyka związana ze wzorem jest skomplikowana i może onieśmielać. Na szczęście nie musisz znać ani nawet rozumieć matematyki, aby używać modelowania Blacka-Scholesa we własnych strategiach. Inwestorzy opcyjni mają dostęp do różnych kalkulatorów opcji online, a wiele dzisiejszych platform transakcyjnych oferuje solidne narzędzia do analizy opcji, w tym wskaźniki i arkusze kalkulacyjne, które wykonują obliczenia i wyświetlają wartości cen opcji.

Formuła opcji kupna Blacka-Scholesa jest obliczana poprzez pomnożenie ceny akcji przez skumulowany standardowy rozkład prawdopodobieństwa normalnego. Następnie wartość bieżąca netto (NPV) ceny wykonania pomnożona przez skumulowany standardowy rozkład normalny jest odejmowana od wynikowej wartości poprzedniego obliczenia.

W notacji matematycznej:

Pochylenie zmienności

Black-Scholes zakłada, że ​​ceny akcji mają rozkład log-normalny, ponieważ ceny aktywów nie mogą być ujemne (są ograniczone przez zero). Jest to również znane jako   dystrybucja Gaussa.

Często obserwuje się, że ceny aktywów mają znaczną prawą  skośność  i pewien stopień  kurtozy (grube ogony). Oznacza to, że ruchy w dół o wysokim ryzyku zdarzają się częściej na rynku niż przewiduje normalna dystrybucja.

Założenie lognormalnych cen aktywów bazowych powinno wykazać, że implikowane zmienności są podobne dla każdej ceny wykonania zgodnie z modelem Blacka-Scholesa. Jednak od załamania rynku w 1987 r. Implikowane zmienności dla opcji at-the-money były niższe niż tych, które znajdują się dalej i są daleko w pieniądzu. Przyczyną tego zjawiska jest to, że rynek wycenia z większym prawdopodobieństwem przesunięcia się dużej zmienności w dół na rynkach.

Doprowadziło to do obecności odchylenia zmienności. Kiedy implikowane zmienności dla opcji o tej samej  dacie wygaśnięcia  są mapowane na wykresie, można zobaczyć uśmiech lub przekrzywienie. W związku z tym model Blacka-Scholesa nie jest skuteczny w obliczaniu zmienności implikowanej.

Ograniczenia modelu Blacka-Scholesa

Jak wspomniano wcześniej, model Blacka-Scholesa służy wyłącznie do wyceny opcji europejskich i nie uwzględnia możliwości wykonania opcji amerykańskich przed datą wygaśnięcia. Ponadto model zakłada, że ​​dywidendy i stopy wolne od ryzyka są stałe, ale w rzeczywistości może to nie być prawdą. Model zakłada pozostaje również zmienności stałej okresie trwania opcji, która nie jest przypadek, ponieważ waha zmienności z poziomu podaży i popytu.

Dodatkowo inne założenia – że nie ma kosztów transakcyjnych ani podatków; że stopa procentowa wolna od ryzyka jest stała dla wszystkich terminów zapadalności; że krótka sprzedaż papierów wartościowych z wpływami jest dozwolona; i że nie ma możliwości arbitrażu bez ryzyka – może prowadzić do cen odbiegających od rzeczywistego świata, w którym występują te czynniki.

Często Zadawane Pytania