Warunkowe prawdopodobieństwo

Co to jest prawdopodobieństwo warunkowe?

Prawdopodobieństwo warunkowe definiuje się jako prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia lub wyniku na podstawie wystąpienia poprzedniego zdarzenia lub wyniku. Prawdopodobieństwo warunkowe jest obliczane przez pomnożenie prawdopodobieństwa zdarzenia poprzedzającego przez zaktualizowane prawdopodobieństwo kolejnego lub warunkowego zdarzenia.

Na przykład:

• Wydarzenie A polega na przyjęciu osoby ubiegającej się o przyjęcie na studia. Istnieje 80% szans, że ta osoba zostanie przyjęta na studia.
• Zdarzenie B polega na tym, że ta osoba otrzyma mieszkanie w akademiku. Zakwaterowanie w akademiku będzie zapewnione tylko dla 60% wszystkich przyjętych studentów.
• P (Zaakceptowane i akademik) = P (Akademik | Zaakceptowane) P (Zaakceptowane) = (0,60) * (0,80) = 0,48.

Prawdopodobieństwo warunkowe uwzględniłoby te dwa zdarzenia w powiązaniu ze sobą, na przykład prawdopodobieństwo, że oboje zostaniecie przyjęci na studia  i  otrzymacie zakwaterowanie w akademiku.

Prawdopodobieństwo warunkowe można porównać z prawdopodobieństwem bezwarunkowym. Bezwarunkowe prawdopodobieństwo odnosi się do prawdopodobieństwa, że ​​zdarzenie nastąpi niezależnie od tego, czy miały miejsce jakiekolwiek inne zdarzenia lub istnieją jakiekolwiek inne warunki.

Zrozumienie prawdopodobieństwa warunkowego

Jak wspomniano wcześniej, prawdopodobieństwa warunkowe są zależne od poprzedniego wyniku. Przyjmuje również szereg założeń. Na przykład załóżmy, że rysujesz trzy kulki – czerwoną, niebieską i zieloną – z torby. Każda kulka ma taką samą szansę na wylosowanie. Jakie jest warunkowe prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kulki po wylosowaniu niebieskiej?

Po pierwsze, prawdopodobieństwo wyciągnięcia niebieskiej kulki wynosi około 33%, ponieważ jest to jeden z trzech możliwych wyników. Zakładając, że nastąpi to pierwsze zdarzenie, pozostaną dwa kulki, z których każda będzie miała 50% szans na wylosowanie. Zatem szansa na narysowanie niebieskiej kulki po narysowaniu czerwonej kulki wyniosłaby około 16,5% (33% x 50%).

Jako kolejny przykład, aby lepiej zrozumieć tę koncepcję, weź pod uwagę, że została rzucona uczciwa kostka i jesteś proszony o podanie prawdopodobieństwa, że ​​była to piątka. Istnieje sześć równie prawdopodobnych wyników, więc Twoja odpowiedź to 1/6. Ale wyobraź sobie, że zanim odpowiesz, otrzymasz dodatkowe informacje, że wyrzucona liczba była nieparzysta. Ponieważ możliwe są tylko trzy liczby nieparzyste, z których jedna to pięć, z pewnością zrewidowałbyś swoje oszacowanie pod kątem prawdopodobieństwa wyrzucenia piątki z 1/6 do 1/3.

To  zrewidowane  prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia  A  , biorąc pod uwagę dodatkowe informacje, że inne zdarzenie  B na  pewno wystąpiło w tej próbie eksperymentu, nazywa się  prawdopodobieństwem warunkowym  A  danego  B  i jest oznaczone jako P (A | B).

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

P (B | A) = P (A i B) / P (A)

Lub:

P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

Inny przykład prawdopodobieństwa warunkowego

Jako inny przykład załóżmy, że student ubiega się o przyjęcie na uniwersytet i ma nadzieję otrzymać stypendium naukowe. Szkoła, do której aplikują, przyjmuje 100 z każdych 1000 kandydatów (10%) i przyznaje stypendia akademickie 10 z każdych 500 przyjętych studentów (2%). Spośród stypendystów 50% otrzymuje również stypendia uniwersyteckie na książki, wyżywienie i zakwaterowanie. Dla naszego ambitnego studenta szansa na przyjęcie go po otrzymaniu stypendium wynosi 0,2% (0,1 x 0,02). Szansa ich przyjęcia, otrzymania stypendium, a następnie stypendium na książki itp. Wynosi 0,1% (0,1 x 0,02 x 0,5). (Możesz również sprawdzić Twierdzenie Bayesa ).

Prawdopodobieństwo warunkowe a prawdopodobieństwo łączne i prawdopodobieństwo krańcowe

Prawdopodobieństwo warunkowe : p (A | B) jest prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A, przy założeniu, że wystąpi zdarzenie B. Przykład: biorąc pod uwagę, że wylosowałeś czerwoną kartę, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to czwórka (p (cztery | czerwona)) = 2/26 = 1/13. Tak więc z 26 czerwonych kartek (otrzymanych czerwoną kartkę) są dwie czwarte, więc 2/26 = 1/13.

Prawdopodobieństwo krańcowe : prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia (p (A)), można je traktować jako prawdopodobieństwo bezwarunkowe. Nie jest uwarunkowane innym zdarzeniem. Przykład: prawdopodobieństwo, że wyciągnięta karta jest czerwona (p (red) = 0,5). Inny przykład: prawdopodobieństwo, że wyciągnięta karta to 4 (p (cztery) = 1/13).

Wspólne prawdopodobieństwo : p (A i B). Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A  i  zdarzenia B. Jest to prawdopodobieństwo przecięcia się dwóch lub więcej zdarzeń. Prawdopodobieństwo przecięcia się A i B można zapisać jako p (A ∩ B). Przykład: prawdopodobieństwo, że karta to czwórka i czerwona = p (cztery i czerwona) = 2/52 = 1/26. (W talii składającej się z 52 kart są dwie czerwone czwórki, czwórka kier i czwórka karo).

Twierdzenie Bayesa

Twierdzenie Bayesa, nazwane na cześć osiemnastowiecznego brytyjskiego matematyka Thomasa Bayesa, jest matematyczną formułą określania prawdopodobieństwa warunkowego. Twierdzenie zapewnia sposób na zrewidowanie istniejących prognoz lub teorii (prawdopodobieństw aktualizacji), biorąc pod uwagę nowe lub dodatkowe dowody. W finansach twierdzenie Bayesa można wykorzystać do oceny ryzyka pożyczenia pieniędzy potencjalnym pożyczkobiorcom.

Twierdzenie Bayesa jest również nazywane regułą Bayesa lub prawem Bayesa i stanowi podstawę dziedziny statystyki Bayesa. Ten zestaw reguł prawdopodobieństwa pozwala na aktualizację ich przewidywań dotyczących zdarzeń w oparciu o nowe otrzymane informacje, dzięki czemu można uzyskać lepsze i bardziej dynamiczne oszacowania.