Rozkład dwumianowy

Co to jest rozkład dwumianowy?

Rozkład dwumianowy to rozkład prawdopodobieństwa, który podsumowuje prawdopodobieństwo, że wartość przyjmie jedną z dwóch niezależnych wartości w ramach danego zestawu parametrów lub założeń. Podstawowymi założeniami rozkładu dwumianowego jest to, że dla każdej próby istnieje tylko jeden wynik, każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo sukcesu oraz że każda próba wyklucza się lub jest od siebie niezależna.

Zrozumienie rozkładu dwumianowego

Rozkład dwumianowy jest powszechnym rozkładem dyskretnym używanym w statystykach, w przeciwieństwie do rozkładu ciągłego, takiego jak rozkład normalny. Dzieje się tak, ponieważ rozkład dwumianowy liczy tylko dwa stany, zwykle reprezentowane jako 1 (dla sukcesu) lub 0 (dla niepowodzenia), biorąc pod uwagę liczbę prób w danych. Dlatego rozkład dwumianowy reprezentuje prawdopodobieństwo x sukcesów w n próbach, przy założeniu prawdopodobieństwa sukcesu p dla każdej próby.

Rozkład dwumianowy podsumowuje liczbę prób lub obserwacji, gdy każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo osiągnięcia jednej określonej wartości. Rozkład dwumianowy określa prawdopodobieństwo zaobserwowania określonej liczby pomyślnych wyników w określonej liczbie prób.

Rozkład dwumianowy jest często używany w statystykach nauk społecznych jako element składowy modeli dla dychotomicznych zmiennych wynikowych, takich jak to, czy Republikanin lub Demokrata wygra nadchodzące wybory lub czy jednostka umrze w określonym czasie itp.

Analiza rozkładu dwumianowego

Oczekiwaną wartość lub średnią rozkładu dwumianowego oblicza się, mnożąc liczbę prób przez prawdopodobieństwo sukcesu. Na przykład oczekiwana wartość liczby głów w 100 próbach głowy i opowieści wynosi 50, czyli (100 * 0,5). Innym typowym przykładem rozkładu dwumianowego jest oszacowanie szans powodzenia zawodnika wykonującego rzut wolny w koszykówce, gdzie 1 = rzuty do kosza, a 0 = pudło.

Średnia rozkładu dwumianowego wynosi np, a wariancja rozkładu dwumianowego np (1 – p). Gdy p = 0,5, rozkład jest symetryczny wokół średniej. Gdy p> 0,5, rozkład jest pochylony w lewo. Gdy p <0,5, rozkład jest pochylony w prawo.

Rozkład dwumianowy jest sumą serii wielu niezależnych i identycznie rozłożonych prób Bernoulliego. W badaniu Bernoulliego mówi się, że eksperyment jest losowy i może mieć tylko dwa możliwe wyniki: sukces lub porażkę.

Na przykład rzut monetą jest uważany za próbę Bernoulliego; każda próba może przyjąć tylko jedną z dwóch wartości (orła lub reszka), każdy sukces ma to samo prawdopodobieństwo (prawdopodobieństwo odwrócenia głowy wynosi 0,5), a wyniki jednej próby nie wpływają na wyniki innej. Rozkład Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, w którym liczba prób n = 1.

Przykład rozkładu dwumianowego

Rozkład dwumianowy oblicza się, mnożąc prawdopodobieństwo sukcesu podniesione do potęgi liczby sukcesów i prawdopodobieństwo niepowodzenia podniesione do potęgi różnicy między liczbą sukcesów a liczbą prób. Następnie pomnóż iloczyn przez kombinację liczby prób i liczby sukcesów.

Na przykład załóżmy, że kasyno stworzyło nową grę, w której uczestnicy mogą obstawiać zakłady na liczbę orłów lub reszek w określonej liczbie rzutów monetą. Załóżmy, że uczestnik chce postawić 10 $, aby w 20 rzutach monetami wypadło dokładnie sześć reszów. Uczestnik chce obliczyć prawdopodobieństwo tego wystąpienia, dlatego używa obliczenia dla rozkładu dwumianowego.

Prawdopodobieństwo obliczono jako: (20! / (6! * (20 – 6)!)) * (0,50) ^ (6) * (1 – 0,50) ^ (20 – 6). W konsekwencji prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie sześciu orłów w 20 rzutach monetą wynosi 0,037, czyli 3,7%. Oczekiwana wartość to w tym przypadku 10 orłów, więc uczestnik postawił kiepski zakład.