Drzewo dwumianowe
Co to jest drzewo dwumianowe?
Drzewo dwumianowe to graficzna reprezentacja możliwych wartości wewnętrznych, które opcja może przyjmować w różnych węzłach lub okresach. Wartość opcji zależy od bazowej akcji lub obligacji, a wartość opcji w dowolnym węźle zależy od prawdopodobieństwa, że cena instrumentu bazowego spadnie lub wzrośnie w dowolnym węźle.
Kluczowe wnioski
- Drzewo dwumianowe jest reprezentacją wartości wewnętrznych, które opcja może przyjmować w różnych okresach czasu.
- Wartość opcji w dowolnym węźle zależy od prawdopodobieństwa, że cena instrumentu bazowego spadnie lub wzrośnie w dowolnym węźle.
- Z drugiej strony – aktywa bazowe mogą być warte tylko dokładnie jednej z dwóch możliwych wartości, co nie jest realistyczne.
Jak działa drzewo dwumianowe
Drzewo dwumianowe jest przydatnym narzędziem do wyceny opcji amerykańskich i opcji osadzonych. Jego prostota jest jednocześnie zaletą i wadą. Drzewo można łatwo wymodelować mechanicznie, ale problem leży w możliwych wartościach, jakie może przyjąć bazowy zasób w jednym okresie.
W modelu drzewa dwumianowego bazowy zasób może być wart tylko dokładnie jednej z dwóch możliwych wartości, co nie jest realistyczne, ponieważ aktywa mogą być warte dowolnej liczby wartości w danym zakresie. Drzewo dwumianowe pozwala inwestorom ocenić, kiedy i czy opcja zostanie wykonana. Opcja ma większe prawdopodobieństwo wykonania, jeśli ma wartość dodatnią.
Uwagi specjalne
Model wyceny opcji dwumianowych (BOPM) jest metodą wyceny opcji. Pierwszym krokiem BOPM jest zbudowanie drzewa dwumianowego. BOPM opiera się na aktywach bazowych w pewnym okresie w porównaniu z pojedynczym punktem w czasie.
W dwumianowym modelu wyceny opcji istnieje kilka głównych założeń. Po pierwsze, są tylko dwie możliwe ceny, jedna w górę i jedna w dół. Po drugie, aktywa bazowe nie przynoszą dywidend. Po trzecie, stopa procentowa jest stała, a po czwarte, nie ma podatków i kosztów transakcyjnych.
Drzewo dwumianowe a model Blacka-Scholesa
Model Blacka Scholesa to kolejna metoda wyceny opcji. Obliczanie ceny za pomocą drzewa dwumianowego jest wolniejsze niż w modelu Blacka Scholesa. Jednak drzewo dwumianowe i BOPM są dokładniejsze. Dotyczy to zwłaszcza opcji o dłuższym terminie oraz papierów wartościowych z wypłatą dywidendy.
Model Black Scholes jest bardziej niezawodny, jeśli chodzi o opcje skomplikowane i obarczone dużą niepewnością. Jeśli chodzi o opcje europejskie bez dywidend, wyniki modelu dwumianowego i modelu Blacka Scholesa zbiegają się wraz ze wzrostem kroków czasowych.
Przykład drzewa dwumianowego
Załóżmy, że cena akcji wynosi 100 USD, cena wykonania opcji 100 USD, roczna data wygaśnięcia i stopa procentowa (r) 5%.
Pod koniec roku istnieje 50% prawdopodobieństwo, że cena wzrośnie do 125 USD, a 50% prawdopodobieństwo, że spadnie do 90 USD. Jeśli cena akcji wzrośnie do 125 USD, wartość opcji wyniesie 25 USD (cena akcji 125 USD minus cena wykonania 100 USD), a jeśli spadnie do 90 USD, opcja będzie bezwartościowa.
Wartością opcji będzie:
Wartość opcji = [(prawdopodobieństwo wzrostu * wartość w górę) + (prawdopodobieństwo spadku * wartość w dół)] / (1 + r) = [(0,50 * 25 zł) + (0,50 * 0 zł)] / (1 + 0,05) = 11,90 zł.