Ciągłe odsetki złożone
Odsetki składane to odsetki naliczane od początkowego kapitału, a także od narosłych odsetek z poprzednich okresów depozytu lub pożyczki. Efekt procentu składanego zależy od częstotliwości.
Przyjmij roczną stopę procentową w wysokości 12%. Jeśli zaczniemy rok od 100 $ i złożymy tylko raz, pod koniec roku kapitał wzrośnie do 112 $ (100 $ x 1,12 = 112 $). Odsetki zastosowane tylko do zasady określane są jako odsetki proste. Jeśli zamiast tego będziemy każdego miesiąca zarabiać na poziomie 1%, na koniec roku otrzymamy ponad 112 USD. Oznacza to, że 100 USD x 1,01 ^ 12 równa się 112,68 USD. (Jest wyższy, ponieważ składaliśmy się częściej).
Stale składane zwroty pojawiają się najczęściej ze wszystkich. Łączenie ciągłe to matematyczny limit, jaki mogą osiągnąć odsetki składane. Jest to skrajny przypadek kapitalizacji, ponieważ większość odsetek naliczana jest co miesiąc, kwartał lub co pół roku.
Kluczowe wnioski
- Proste odsetki są stosowane tylko do zasady, a nie do odsetek skumulowanych.
- Odsetki składane to odsetki naliczane według zasady oraz odsetki uprzednio zastosowane.
- Efekt odsetek składanych zależy od częstotliwości ich stosowania.
- W przypadku obligacji ekwiwalent rentowności obligacji to oczekiwany roczny zwrot.
- Ciągłe składanie zwrotów skaluje się w wielu okresach.
- Mówi się, że odsetki narastające z najwyższą częstotliwością narastają w sposób ciągły.
Półroczne stawki zwrotu
Najpierw przyjrzyjmy się potencjalnie mylącej rentowności ekwiwalentu obligacji (lub podstawie ekwiwalentu obligacji). Oznacza to, że jeśli rentowność obligacji w skali półrocznej wynosi 6%, jej ekwiwalent z obligacji wynosi 12%.
Uzysk półroczny jest po prostu podwojony. Jest to potencjalnie mylące, ponieważ efektywna rentowność 12% obligacji o ekwiwalencie obligacji wynosi 12,36% (tj. 1,06 ^ 2 = 1,1236). Podwojenie półrocznej wydajności jest tylko konwencją nazewnictwa obligacji. Dlatego też, jeśli czytamy o 8% obligacji składanych co pół roku, zakładamy, że odnosi się to do 4% półrocznej wydajności.
Kwartalne, miesięczne i dzienne stawki zwrotu
Teraz omówmy wyższe częstotliwości. Nadal zakładamy 12% roczną rynkową stopę procentową. Zgodnie z konwencją nazewnictwa obligacji oznacza to 6% półroczną stawkę złożoną. Możemy teraz wyrazić kwartalną stopę złożoną jako funkcję rynkowej stopy procentowej.
Biorąc pod uwagę roczną stopę rynkową ( r), kwartalna stawka złożona ( r q ) jest wyrażona wzorem:
Na przykład, gdy roczna stopa rynkowa wynosi 12%, kwartalna stawka złożona wynosi 11,825%:
rq=4
WcześniejszerqWcześniejsze=4[(2
Podobna logika ma zastosowanie do comiesięcznego łączenia. Miesięczna stopa złożona ( r m ) jest tu podana jako funkcja rocznej rynkowej stopy procentowej ( r):
Dzienna stawka złożona ( d) jako funkcja rynkowej stopy procentowej ( r) jest wyrażona wzorem:
rre=360
rreWcześniejszeWcześniejsze=360[(2
Jak działa ciągłe mieszanie
Jeśli zwiększymy częstotliwość złożoną do jej limitu, będziemy stale mieszać. Chociaż może to być niepraktyczne, stale składana stopa procentowa oferuje cudownie wygodne właściwości. Okazuje się, że stale składana stopa procentowa jest obliczana przez:
Przy mniejszych odstępach czasu kwota zarobionych odsetek jest nieskończenie mała.
Ln () to logarytm naturalny, a zatem w naszym przykładzie stale składana stopa wynosi:
rdoontjanuous=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%\ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) \ cong 11,33 \% \\ \ end {aligned}WcześniejszercontinuousWcześniejsze=ln(1+0.12)=Ln(1,12)≅11.33%Wcześniejsze
Dochodzimy do tego samego miejsca, biorąc logarytm naturalny tego stosunku: wartość końcową podzieloną przez wartość początkową.
rdoontjanuous=ln(ValueEndValueStart)=ln(112100)≅11.33%\ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Wartość} _ \ text {Koniec}} {\ text {Wartość} _ \ text {Początek}} \ right) = \ ln \ left (\ frac {112} {100} \ right) \ cong 11.33 \% \\ \ end {aligned}WcześniejszercontinuousWcześniejsze=ln(WartośćPoczątekWcześniejsze
Ta ostatnia jest powszechna podczas obliczania stale składanego zwrotu dla akcji. Na przykład, jeśli cena akcji wzrośnie z 10 dolarów jednego dnia do 11 dolarów następnego dnia, to stale składany dzienny zwrot jest obliczany przez:
rdoontjanuous=ln(ValueEndValueStart)=ln($11$10)≅9.53%\ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Wartość} _ \ text {Koniec}} {\ text {Wartość} _ \ text {Początek}} \ right) = \ ln \ left (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ right) \ cong 9.53 \% \\ \ end {aligned}WcześniejszercontinuousWcześniejsze=ln(WartośćPoczątekWcześniejsze
Co jest takiego wspaniałego w stale składanej stopie procentowej (lub zwrocie), którą oznaczymy przez r c? Po pierwsze, łatwo jest go skalować do przodu. Biorąc pod uwagę zasadę (P), nasze ostateczne bogactwo w ciągu (n) lat jest wyrażone wzorem:
w=P.mirdon\ begin {aligned} & w = Pe ^ {r_c n} \\ \ end {aligned}Wcześniejszew=PerdoWcześniejszenWcześniejsze
Zauważ, że e jest funkcją wykładniczą. Na przykład, jeśli zaczniemy od 100 $ i przez trzy lata stale powiększamy się o 8%, ostateczne bogactwo jest obliczane przez:
w=$100mi(0.08)(3)=$127.12\ begin {aligned} & w = \ $ 100e ^ {(0,08) (3)} = \ $ 127,12 \\ \ end {aligned}Wcześniejszew=1zł00e(0,08)(3)=1USD27.12Wcześniejsze
Dyskontowanie do wartości bieżącej (PV) jest po prostu kumulowane w odwrotnej kolejności, więc wartość bieżąca przyszłej wartości (F) łączona w sposób ciągły w tempie ( r c ) jest wyrażona wzorem:
PV of F received in (n) years=famirdon=fami-rdon\ begin {aligned} & \ text {PV of F otrzymane za (n) lat} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ { -r_c n} \\ \ end {aligned}WcześniejszePV F otrzymane w (n) latach=mirdoWcześniejszen
Na przykład, jeśli w ciągu trzech lat zamierzasz otrzymać 100 USD przy stałym oprocentowaniu 6%, jego wartość bieżąca jest wyrażona wzorem:
PV=fami-rdon=($100)mi-(0.06)(3)=$100mi-0.18≅$83.53\ begin {aligned} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (\ $ 100) e ^ { – (0,06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0,18} \ cong \ $ 83,53 \\ \ end {aligned}WcześniejszePV=Fe-rdoWcześniejszen=(1$00)e-(0,06)(3)=1zł00e-0.18≅8USD3.53Wcześniejsze
Skalowanie w wielu okresach
Wygodną właściwością ciągłych składanych zwrotów jest to, że skalują się one w wielu okresach. Jeśli zwrot za pierwszy okres wynosi 4%, a zwrot za drugi okres wynosi 3%, to zwrot z dwóch okresów wynosi 7%. Rozważmy, że zaczynamy rok od 100 dolarów, które rośnie do 120 dolarów pod koniec pierwszego roku, a następnie 150 dolarów pod koniec drugiego. Stale składane zwroty wynoszą odpowiednio 18,23% i 22,31%.
ln(120100)≅18.23%\ begin {aligned} & \ ln \ left (\ frac {120} {100} \ right) \ cong 18.23 \% \\ \ end {aligned}Wcześniejszeln(100
ln(150120)≅22.31%\ begin {aligned} & \ ln \ left (\ frac {150} {120} \ right) \ cong 22.31 \% \\ \ end {aligned}Wcześniejszeln(120
Jeśli po prostu dodamy je do siebie, otrzymamy 40,55%. Oto zwrot z dwóch okresów:
ln(150100)≅40.55%\ begin {aligned} & \ ln \ left (\ frac {150} {100} \ right) \ cong 40.55 \% \\ \ end {aligned}Wcześniejszeln(100
Technicznie rzecz biorąc, ciągły powrót jest zgodny z czasem. Spójność czasowa to techniczny zmienną losową o rozkładzie normalnym, chcemy, aby zmienne losowe z wieloma okresami również miały rozkład normalny. Co więcej, wielookresowy ciągły zwrot składany ma rozkład normalny (w przeciwieństwie do, powiedzmy, prostego zwrotu procentowego).
Ciągłe mieszanie często zadawanych pytań
Co to znaczy być nieustannie połączonym?
Kumulacja w sposób ciągły oznacza, że nie ma ograniczeń co do tego, jak często odsetki mogą się kumulować. Ciągłe łączenie się może występować nieskończoną liczbę razy, co oznacza, że saldo zawsze generuje odsetki.
Czy złożone w sposób ciągły oznacza codziennie?
Skumulowane w sposób ciągły oznacza, że odsetki narastają w każdej chwili, nawet w najmniejszym mierzalnym okresie czasu. Dlatego złożone stale występuje częściej niż codziennie.
Dlaczego stosuje się mieszanie ciągłe?
Składanie ciągłe służy do pokazania, ile saldo może zarobić, gdy stale narastają odsetki. Inwestorzy mogą obliczyć, ile spodziewają się otrzymać z inwestycji przynoszącej ciągłą stopę procentową.
Jaka jest różnica między mieszaniem dyskretnym a ciągłym?
Dyskretne składanie obejmuje odsetki w określonych godzinach, na przykład codziennie, miesięcznie, kwartalnie lub corocznie. Składanie dyskretne wyraźnie definiuje czas, w którym odsetki będą naliczane. Ciągłe składanie oprocentowania jest stosowane w sposób ciągły, w każdym momencie.
Jaka jest różnica między łączeniem rocznym a ciągłym?
Skumulowanie roczne oznacza, że odsetki są naliczane do zasady, a odsetki skumulowane w stosunku rocznym; podczas gdy łączenie w sposób ciągły oznacza, że odsetki są stosowane do zasady i odsetki skumulowane w każdym momencie. Nie ma ułamka czasu, w którym odsetki nie są naliczane w przypadku ciągłego łączenia.
Podsumowanie
Możemy przeformułować roczne stopy procentowe na półroczne, kwartalne, miesięczne lub dzienne stopy procentowe (lub stopy zwrotu). Najczęstszym złożeniem jest mieszanie ciągłe, które wymaga od nas użycia logarytmu naturalnego i funkcji wykładniczej, powszechnie używanej w finansach ze względu na jej pożądane właściwości. Łączenie w sposób ciągły łatwo zwraca skalę w wielu okresach i jest spójne w czasie.