Model wyceny opcji dwumianowych

Co to jest dwumianowy model wyceny opcji?

Dwumianowy model wyceny opcji jest metodą wyceny opcji opracowaną w 1979 r. datą wygaśnięcia opcji.

Model ogranicza możliwości zmian cen i eliminuje możliwość arbitrażu. Uproszczony przykład drzewa dwumianowego może wyglądać mniej więcej tak:

Podstawy modelu wyceny opcji dwumianowych

W przypadku dwumianowych modeli cen opcji zakłada się, że istnieją dwa możliwe wyniki – stąd dwumianowa część modelu. W modelu cenowym oba wyniki to ruch w górę lub w dół. Główną zaletą dwumianowego modelu wyceny opcji jest to, że są matematycznie proste. Jednak modele te mogą stać się złożone w modelu wielookresowym.

W przeciwieństwie do modelu Blacka-Scholesa, który zapewnia wynik liczbowy na podstawie danych wejściowych, model dwumianowy pozwala na obliczenie składnika aktywów i opcji dla wielu okresów wraz z zakresem możliwych wyników dla każdego okresu (patrz poniżej).

Zaletą tego widoku z wielu okresów jest to, że użytkownik może wizualizować zmianę ceny aktywów z okresu na okres i ocenić opcję na podstawie decyzji podjętych w różnych momentach. Dla amerykańskiej bazie  opcji, które mogą być wykonywane w dowolnym czasie przed  datą wygaśnięcia, dwumianowy model może zapewnić wgląd, aby przy korzystaniu z opcji może być wskazane i kiedy powinno się odbyć na dłuższe okresy.

Patrząc na  dwumianowe drzewo  wartości, trader może z góry określić, kiedy może zapaść decyzja dotycząca  wykonania  . Jeśli opcja ma wartość dodatnią, istnieje możliwość wykonania, a jeśli opcja ma wartość mniejszą od zera, powinna być utrzymywana przez dłuższy czas.

Obliczanie ceny za pomocą modelu dwumianowego

Podstawową metodą obliczania dwumianowego modelu opcji jest użycie tego samego prawdopodobieństwa w każdym okresie dla sukcesu i porażki,  aż do wygaśnięcia opcji. Jednak przedsiębiorca może uwzględnić różne prawdopodobieństwa dla każdego okresu na podstawie nowych informacji uzyskanych w miarę upływu czasu.

Drzewo dwumianowe jest przydatnym narzędziem do wyceny  opcji amerykańskich  i  opcji osadzonych. Jego prostota jest jednocześnie zaletą i wadą. Drzewo można łatwo wymodelować mechanicznie, ale problem leży w możliwych wartościach, jakie może przyjąć bazowy zasób w jednym okresie. W modelu drzewa dwumianowego bazowy zasób może być wart tylko dokładnie jednej z dwóch możliwych wartości, co nie jest realistyczne, ponieważ aktywa mogą być warte dowolnej liczby wartości w danym zakresie.

Na przykład może istnieć prawdopodobieństwo 50/50, że cena aktywów bazowych może wzrosnąć lub spaść o 30 procent w jednym okresie. Jednak w drugim okresie prawdopodobieństwo wzrostu ceny aktywów bazowych może wzrosnąć do 70/30.

Na przykład, jeśli inwestor ocenia odwiert naftowy, nie jest on pewien, jaka jest wartość tego odwiertu, ale istnieje prawdopodobieństwo 50/50, że cena pójdzie w górę. Jeśli  fundamenty rynkowe wskazują teraz na stały wzrost cen ropy, prawdopodobieństwo dalszej aprecjacji może teraz wynosić 70%. Model dwumianowy zapewnia taką elastyczność; model Blacka-Scholesa tego nie robi.

Rzeczywisty przykład dwumianowego modelu wyceny opcji

Uproszczony przykład drzewa dwumianowego ma tylko jeden krok. Załóżmy, że istnieje akcja wyceniana na 100 USD za akcję. W ciągu miesiąca cena tych akcji wzrośnie o 10 USD lub spadnie o 10 USD, tworząc następującą sytuację:

• Cena akcji = 100 USD
• Cena akcji w ciągu jednego miesiąca (stan rosnący) = 110 USD
• Cena akcji w ciągu jednego miesiąca (stan obniżony) = 90 USD

Następnie załóżmy, że dla tych akcji dostępna jest opcja kupna, która wygasa za miesiąc i ma cenę wykonania 100 USD. W stanie aktywnym ta opcja kupna jest warta 10 $, a w stanie dolnym – 0 $. Model dwumianowy pozwala obliczyć dzisiejszą cenę opcji kupna.

Dla uproszczenia załóżmy, że inwestor kupuje połowę akcji i wystawia lub sprzedaje jedną opcję kupna. Dzisiejsza całkowita inwestycja to cena za pół akcji pomniejszona o cenę opcji, a możliwe spłaty na koniec miesiąca to:

• Koszt dzisiaj = 50 USD – cena opcji
• Wartość portfela (stan w górę) = 55 USD – maks. (110 USD – 100 USD, 0) = 45 USD
• Wartość portfela (stan dolny) = 45 USD – maks. (90 USD – 100 USD, 0) = 45 USD

Spłata portfela jest równa bez względu na to, jak zmienia się cena akcji. Biorąc pod uwagę ten wynik, zakładając brak możliwości arbitrażu, inwestor powinien w ciągu miesiąca uzyskać stopę wolną od ryzyka. Dzisiejszy koszt musi być równy wypłacie zdyskontowanej według stopy wolnej od ryzyka przez jeden miesiąc. Równanie do rozwiązania jest następujące:

• Cena opcji = 50 USD – 45 USD xe ^ (-stopa wolna od ryzyka x T), gdzie e jest stałą matematyczną 2,7183.

Zakładając, że stopa wolna od ryzyka wynosi 3% rocznie, a T wynosi 0,0833 (jedno podzielone przez 12), wówczas cena opcji kupna wynosi dziś 5,11 USD.

Dwumianowy model wyceny opcji przedstawia dwie zalety dla sprzedawców opcji w porównaniu z modelem Blacka-Scholesa. Pierwsza to prostota, która pozwala na mniej błędów w komercyjnej aplikacji. Druga to iteracyjna operacja, która dostosowuje ceny w odpowiednim czasie, tak aby ograniczyć możliwość realizacji strategii arbitrażowych przez kupujących.

Na przykład, ponieważ zapewnia strumień wycen dla instrumentu pochodnego dla każdego węzła w przedziale czasowym, jest przydatny do wyceny instrumentów pochodnych, takich jak opcje amerykańskie, które można wykonać w dowolnym momencie między datą zakupu a datą wygaśnięcia. Jest również znacznie prostszy niż inne modele cenowe, takie jak model Blacka-Scholesa.