Definicja twierdzenia Bayesa
Co to jest twierdzenie Bayesa?
Twierdzenie Bayesa, nazwane na cześć osiemnastowiecznego brytyjskiego matematyka Thomasa Bayesa, jest matematycznym wzorem do określania prawdopodobieństwa warunkowego. Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku, oparte na wcześniejszym wystąpieniu wyniku. Twierdzenie Bayesa umożliwia zrewidowanie istniejących prognoz lub teorii (prawdopodobieństw aktualizacji), biorąc pod uwagę nowe lub dodatkowe dowody. W finansach twierdzenie Bayesa można wykorzystać do oceny ryzyka pożyczenia pieniędzy potencjalnym pożyczkobiorcom.
Twierdzenie Bayesa jest również nazywane regułą Bayesa lub prawem Bayesa i stanowi podstawę dziedziny statystyki Bayesa.
Kluczowe wnioski
- Twierdzenie Bayesa umożliwia aktualizację przewidywanych prawdopodobieństw wystąpienia zdarzenia poprzez uwzględnienie nowych informacji.
- Twierdzenie Bayesa zostało nazwane na cześć osiemnastowiecznego matematyka Thomasa Bayesa.
- Jest często stosowany w finansach do aktualizacji oceny ryzyka.
Zrozumienie twierdzenia Bayesa
Zastosowania twierdzenia są szeroko rozpowszechnione i nie ograniczają się do sfery finansowej. Na przykład twierdzenie Bayesa można wykorzystać do określenia dokładności wyników badań medycznych, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo, że dana osoba ma chorobę, oraz ogólną dokładność testu. Twierdzenie Bayesa polega na włączeniu wcześniejszych rozkładów prawdopodobieństwa w celu wygenerowania późniejszych prawdopodobieństw. W statystycznym wnioskowaniu bayesowskim prawdopodobieństwo wcześniejsze to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przed zebraniem nowych danych. Jest to najlepsza racjonalna ocena prawdopodobieństwa wyniku na podstawie aktualnej wiedzy przed wykonaniem eksperymentu. Prawdopodobieństwo późniejsze to zrewidowane prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia po uwzględnieniu nowych informacji. Prawdopodobieństwo późniejsze jest obliczane poprzez aktualizację prawdopodobieństwa wcześniejszego przy użyciu twierdzenia Bayesa. W kategoriach statystycznych prawdopodobieństwo późniejsze jest prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A, przy założeniu, że zdarzenie B. miało miejsce.
Twierdzenie Bayesa podaje zatem prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia na podstawie nowych informacji, które są lub mogą być powiązane z tym zdarzeniem. Wzór można również wykorzystać do sprawdzenia, jak hipotetyczne nowe informacje wpływają na prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, zakładając, że nowe informacje okażą się prawdziwe. Na przykład, powiedzmy, że pojedyncza karta jest losowana z pełnej talii 52 kart. Prawdopodobieństwo, że karta jest królem, wynosi cztery podzielone przez 52, co równa się 1/13, czyli około 7,69%. Pamiętaj, że w talii jest czterech królów. Teraz załóżmy, że zostało ujawnione, że wybrana karta to figura. Prawdopodobieństwo, że wybrana karta jest królem, biorąc pod uwagę, że jest to figura, wynosi cztery podzielone przez 12, czyli około 33,3%, ponieważ w talii jest 12 figur.
Wzór na twierdzenie Bayesa
Przykłady twierdzenia Bayesa
Poniżej znajdują się dwa przykłady twierdzenia Bayesa, w których pierwszy przykład pokazuje, w jaki sposób można wyprowadzić wzór na przykładzie inwestowania w akcje przy użyciu Amazon.com Inc. ( AMZN ). Drugi przykład stosuje twierdzenie Bayesa do testowania leków farmaceutycznych.
Wyprowadzenie wzoru twierdzenia Bayesa
Twierdzenie Bayesa wynika po prostu z aksjomatów prawdopodobieństwa warunkowego. Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przy założeniu, że wystąpiło inne zdarzenie. Na przykład proste pytanie dotyczące prawdopodobieństwa może dotyczyć: „Jakie jest prawdopodobieństwo spadku ceny akcji Amazon.com?” Prawdopodobieństwo warunkowe trwa to pytanie o krok dalej, pytając: „Jakie jest prawdopodobieństwo AMZN cenie photography Spadające skoro Dow Jones Industrial Average? (DJIA) indeks spadł wcześniej”
Warunkowe prawdopodobieństwo A, biorąc pod uwagę, że wydarzyło się B, można wyrazić jako:
Jeśli A to: „Cena AMZN spada”, to P (AMZN) jest prawdopodobieństwem spadku AMZN; a B to: „DJIA już spadł”, a P (DJIA) to prawdopodobieństwo, że DJIA spadł; następnie wyrażenie prawdopodobieństwa warunkowego brzmi: „prawdopodobieństwo, że AMZN spadnie przy spadku DJIA, jest równe prawdopodobieństwu, że cena AMZN spadnie, a DJIA spadnie w stosunku do prawdopodobieństwa spadku indeksu DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN i DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN i DJIA) to prawdopodobieństwo wystąpienia zarówno A, jak i B. Jest to również to samo, co prawdopodobieństwo wystąpienia A pomnożone przez prawdopodobieństwo wystąpienia B, przy założeniu, że wystąpi A, wyrażone jako P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Fakt, że te dwa wyrażenia są równe, prowadzi do twierdzenia Bayesa, które jest zapisane jako:
if, P (AMZN i DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
następnie P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Gdzie P (AMZN) i P (DJIA) to prawdopodobieństwa upadku Amazona i Dow Jones, bez względu na siebie.
Wzór wyjaśnia związek między prawdopodobieństwem hipotezy przed zobaczeniem dowodu, że P (AMZN), a prawdopodobieństwem hipotezy po uzyskaniu dowodu P (AMZN | DJIA), biorąc pod uwagę hipotezę dla Amazona podaną w Dow.
Numeryczny przykład twierdzenia Bayesa
Jako przykład liczbowy, wyobraźmy sobie, że istnieje test narkotykowy, który jest w 98% dokładny, co oznacza, że w 98% przypadków wykazuje prawdziwy pozytywny wynik u osoby używającej narkotyku, aw 98% przypadków pokazuje prawdziwie ujemny wynik u osób, które nie stosowały leku. lek. Następnie załóżmy, że 0,5% ludzi używa leku. Jeśli osoba wybrana losowo ma pozytywny wynik na obecność narkotyku, można wykonać następujące obliczenia, aby sprawdzić, czy prawdopodobieństwo, że dana osoba jest rzeczywiście zażywającym ten narkotyk.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
Twierdzenie Bayesa pokazuje, że nawet jeśli dana osoba uzyskała wynik pozytywny w tym scenariuszu, w rzeczywistości jest znacznie bardziej prawdopodobne, że osoba ta nie jest użytkownikiem narkotyku.