Czas trwania Macaulaya a czas zmodyfikowany

Duration Macaulay i modified duration są używane głównie do obliczania czasu trwania obligacji. Duration Macaulay oblicza średni ważony czas, po którym posiadacz obligacji otrzyma przepływy pieniężne z obligacji. I odwrotnie, zmodyfikowany czas trwania mierzy wrażliwość cenową obligacji w przypadku zmiany rentowności do terminu wykupu.

Czas trwania Macaulaya

Czas trwania Macaulaya jest obliczany poprzez pomnożenie okresu przez okresową płatność kuponu i podzielenie otrzymanej wartości przez 1 plus okresowy zysk podniesiony do terminu zapadalności. Następnie wartość jest obliczana dla każdego okresu i sumowana. Następnie otrzymana wartość jest dodawana do łącznej liczby okresów pomnożonej przez  wartość nominalną podzieloną przez 1 oraz okresowy zysk podniesiony do łącznej liczby okresów. Następnie wartość dzieli się przez aktualną cenę obligacji.

Cenę obligacji oblicza się poprzez pomnożenie przepływów pieniężnych przez 1, minus 1, podzielone przez 1, plus dochód do wykupu, podniesiony do liczby okresów podzielonych przez wymagany dochód. Wynikowa wartość jest dodawana do wartości nominalnej lub wartości wykupu obligacji podzielonej przez 1 plus zysk do wykupu powiększony do łącznej liczby okresów.

Na przykład załóżmy, że okres Macaulaya pięcioletniej obligacji o zapadalności 5000 USD i stopie kuponu 6% wynosi 4,87 lat ((1 * 60) / (1 + 0,06) + (2 * 60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0,06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0,06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0,06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0,06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0,06) ^ -5) / (0,06)) + (5000 / (1 + 0,06) ^ 5)).

Zmodyfikowana duracja dla tej obligacji, z rentownością do wykupu 6% dla jednego okresu kuponowego, wynosi 4,59 roku (4,87 / (1 + 0,06 / 1). okres trwania obligacji zmniejszy się o 0,28 roku (4,87 – 4,59).

Wzór do obliczenia procentowej zmiany ceny obligacji to zmiana rentowności pomnożona przez ujemną wartość zmodyfikowanego czasu trwania pomnożoną przez 100%. Obliczona wynikająca z tego procentowa zmiana obligacji dla wzrostu rentowności o 1% wynosi -4,59% (0,01 * – 4,59 * 100%).

Zmodyfikowany czas trwania

Modified Duration=Macauley Duration(1+YTMn)Where:YTM=yield to maturityn=number of coupon periods per year\ begin {aligned} & \ text {Modified Duration} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {\ left (1 + \ frac {YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & YTM = \ text {rentowność do dojrzałości} \\ & n = \ text {liczba okresów kuponu w roku} \ end {aligned}WcześniejszeZmodyfikowany czas trwania=( 1+n

Zmodyfikowany czas trwania  oznacza skorygowaną wersję trwania Macaulay, co stanowi zmianę wydajności do zapadalności. Wzór na zmodyfikowany czas trwania to wartość czasu trwania Macaulaya podzielona przez 1, plus zysk do wykupu, podzielony przez liczbę okresów kuponowych w roku. Zmodyfikowana duracja określa zmiany czasu trwania i ceny obligacji dla każdej  procentowej zmiany  rentowności do wykupu.1

Na przykład załóżmy, że sześcioletnia obligacja ma wartość nominalną 1000 USD i roczną stopę kuponu w wysokości 8%. Obliczony czas trwania Macaulaya wynosi 4,99 lat ((1 * 80) / (1 + 0,08) + (2 * 80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0,08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0,08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0,08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0,08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0,08) ^ -6) / 0,08 + 1000 / (1 + 0,08) ^ 6).

Zmodyfikowana duracja dla tej obligacji, z rentownością do wykupu 8% dla jednego okresu kuponowego, wynosi 4,62 roku (4,99 / (1 + 0,08 / 1). okres obowiązywania obligacji zmniejszy się o 0,37 roku (4,99 – 4,62).

Wzór do obliczenia procentowej zmiany ceny obligacji to zmiana rentowności pomnożona przez ujemną wartość zmodyfikowanego czasu trwania pomnożoną przez 100%. Ta wynikająca z tego zmiana procentowa obligacji, dla wzrostu stopy procentowej z 8% do 9%, wynosi -4,62% ​​(0,01 * – 4,62 * 100%).

Dlatego też, jeśli stopy procentowe wzrosną o 1% w ciągu nocy, cena obligacji spadnie o 4,62%.

Zmodyfikowane swapy duracji i stopy procentowej

Zmodyfikowany czas trwania można by przedłużyć, aby obliczyć liczbę lat potrzebnych do spłaty ceny zapłaconej za zamianę za swap stóp procentowych. Swap na stopę procentową to wymiana jednego zestawu  przepływów pieniężnych  na inny i opiera się na ustaleniach stóp procentowych między stronami.

Zmodyfikowany czas trwania oblicza się poprzez podzielenie wartości w dolarach zmiany jednego punktu bazowego części swapu stopy procentowej lub serii przepływów pieniężnych przez bieżącą wartość serii przepływów pieniężnych. Wartość jest następnie mnożona przez 10 000. Zmodyfikowany czas trwania dla każdej serii przepływów pieniężnych można również obliczyć, dzieląc dolarową wartość zmiany w punkcie bazowym szeregu przepływów pieniężnych przez wartość nominalną plus wartość rynkową. Ułamek jest następnie mnożony przez 10 000.

Zmodyfikowany czas trwania obu nóg musi zostać obliczony, aby obliczyć zmodyfikowany czas trwania  swapu stóp procentowych. Różnica między dwoma zmodyfikowanymi okresami trwania to zmodyfikowany czas trwania swapu stóp procentowych. Wzór na zmodyfikowany czas trwania swapu stopy procentowej to zmodyfikowany czas trwania części otrzymującej minus zmodyfikowany czas trwania części płatniczej.

Na przykład załóżmy, że bank A i bank B zawierają swap stóp procentowych. Zmodyfikowany czas trwania części otrzymującej swapu oblicza się na dziewięć lat, a zmodyfikowany czas trwania części płatniczej na pięć lat. Wynikający z tego zmodyfikowany czas trwania swapu stopy procentowej wynosi cztery lata (9 lat – 5 lat).

Porównanie czasu trwania Macaulaya i zmodyfikowanego czasu trwania

Ponieważ czas trwania Macaulaya mierzy średni ważony czas, przez jaki inwestor musi utrzymywać obligację, dopóki wartość bieżąca przepływów pieniężnych z obligacji nie będzie równa kwocie zapłaconej za obligację, jest często używany przez zarządzających obligacjami, którzy chcą zarządzać ryzykiem portfela obligacji za pomocą strategii immunizacji.

Natomiast zmodyfikowany czas trwania określa, o ile zmienia się czas trwania dla każdej procentowej zmiany rentowności, mierząc jednocześnie, jak bardzo zmiana stóp procentowych wpływa na cenę obligacji. Tak więc zmodyfikowany czas trwania może stanowić miarę ryzyka dla inwestorów obligacji poprzez przybliżenie tego, o ile cena obligacji może spaść wraz ze wzrostem stóp procentowych. Należy zauważyć, że ceny obligacji i stopy procentowe mają   ze sobą odwrotną zależność.